这个计算器能做什么
本工具根据正多边形的边长，计算它的内切圆（即内接于多边形内部、与各边相切的圆），并返回内切圆半径、内切圆面积以及多边形面积。它不仅给出单个结果，还会按边数 \(n\) 从起始值到结束值逐一生成一张对比表，让你把三角形、正方形、正五边形、正六边形乃至更多边形并排比较。整套运算属于纯几何，适用于任何场合，只要长度单位保持一致即可。
使用方法
先输入边长 \(a\)（任意正数），再设定边数范围："正多边形 \(n\)（起）"和"正多边形 \(n\)（止）"。由于多边形至少要有三条边，\(n\) 从 3 开始。表格会为每个整数 \(n\) 生成一行，最多 200 行。若只想得到单一结果，把"起"和"止"设为相同的数值即可。
公式详解
内切圆与每条边的中点相切，它的半径就是多边形的边心距（apothem）。设角度以弧度计，多边形有 \(n\) 条边、每条长为 \(a\)，则内切圆半径为
$$r = \frac{a}{2\tan(\pi/n)}$$内切圆面积由标准圆面积公式得出：
$$S_c = \pi \times r^2$$多边形面积等于周长的一半乘以边心距，化简后为
$$S_p = \frac{n \times a^2}{4\tan(\pi/n)}$$由于当 \(n \geq 3\) 时有 \(0 < \pi/n < \pi/2\)，所以 \(\tan(\pi/n)\) 恒为正，永远不会出现除以零的情况。
实例演算
以单位边长的正六边形为例，\(a = 1\)，\(n = 6\)。此时 \(\pi/6 = 0.5235988\) 弧度，\(\tan(\pi/6) = 0.5773503\)。内切圆半径为
$$r = \frac{1}{2 \times 0.5773503} = 0.8660254$$内切圆面积为
$$S_c = \pi \times 0.8660254^2 = \pi \times 0.75 = 2.3561945$$多边形面积为
$$S_p = \frac{6}{4 \times 0.5773503} = 2.5980762$$恰好与正六边形的已知面积 \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\) 相吻合。
常见问题
内切圆和外接圆有什么区别？内切圆位于多边形内部，与每条边的中点相切；外接圆则经过多边形的各个顶点。本工具计算的是内切圆。
为什么 \(n\) 越大，多边形面积越大？因为边长 \(a\) 固定不变，\(n\) 越大意味着图形实际尺寸越大，所以两种面积都会随之增加；多边形的形状会越来越接近内切圆，但两者的数值仍在持续增长。
使用什么单位？取决于你为 \(a\) 输入的长度单位。长度结果沿用该单位，面积结果则为该单位的平方。
