ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تتعامل هذه الأداة مع المضلع المنتظم (وهو مضلع ذو n ضلعًا تتساوى فيه جميع الأضلاع والزوايا). انطلاقًا من طول الضلع a ونطاقٍ من أعداد الأضلاع n، تحسب الأداة نصف قطر الدائرة المحيطة (وهي الدائرة التي تمرّ بكل رؤوس المضلع)، ومساحة تلك الدائرة، ومساحة المضلع نفسه. وتبني جدولًا يضمّ صفًّا واحدًا لكل قيمة صحيحة من n بدءًا من الحد الأدنى الذي تختاره وحتى الحد الأقصى، بحيث يمكنك مقارنة الأشكال جنبًا إلى جنب. هذه هندسة مستوية بحتة تنطبق بالطريقة نفسها في كل مكان — فلا فرق في الوحدات ولا في القوانين المحلية، وتُقاس جميع المساحات ببساطة بمربّع وحدة الطول التي تستخدمها للضلع a.
طريقة الاستخدام
أدخِل طول الضلع a (يجب أن يكون أكبر من 0)، ثم أصغر عدد للأضلاع وأكبره. ويجب أن تكون كل قيمة من n عددًا صحيحًا لا يقل عن 3، لأن المضلع يحتاج إلى ثلاثة أضلاع أو أكثر. الجدول محدود بـ 200 صف كحدّ أقصى. وللحصول على شكل واحد فقط، اضبط قيمتَي «من» و«إلى» على العدد نفسه.
شرح المعادلات
نحصل على نصف قطر الدائرة المحيطة بتقسيم المضلع إلى n مثلثًا متساوي الساقين تلتقي عند المركز؛ ويقابل كل ضلع زاوية مركزية مقدارها \(2\pi/n\)، فينتج لدينا $$r = \frac{a}{2\sin(\pi/n)}$$ أما مساحة الدائرة المحيطة فتُعطى بالصيغة المعتادة \(S_c = \pi r^2\). ومساحة المضلع هي $$S_p = \frac{n\,a^2}{4\tan(\pi/n)}$$ وكلما زاد العدد n، التصق المضلع بدائرته أكثر فأكثر، فتقترب قيمة \(S_p\) من \(S_c\) — وهذا تحقّق سريع ومفيد من صحّة النتيجة.
مثال محلول
لنأخذ مسدّسًا منتظمًا (n = 6) طول ضلعه a = 1. عندئذٍ \(\pi/6 \approx 0.5236\) راديان، و\(\sin(\pi/6) = 0.5\)، فيكون $$r = \frac{1}{2\times 0.5} = 1$$ ومساحة الدائرة \(S_c = \pi\times 1^2 \approx 3.14159\)، وبما أن \(\tan(\pi/6) \approx 0.57735\)، تكون مساحة المضلع $$S_p = \frac{6}{4\times 0.57735} \approx 2.59808$$
الأسئلة الشائعة
هل نصف قطر الدائرة المحيطة هو نفسه العمود النازل (الأبوثيم)؟ لا. نصف قطر الدائرة المحيطة يصل إلى رؤوس المضلع، أما العمود النازل فيصل إلى منتصف الضلع، وهو أقصر منه.
لماذا يجب أن يكون n على الأقل 3؟ لأن أقل من ثلاثة أضلاع لا يمكن أن يحصر مساحة، كما أن حدّ الظل (tan) يصبح غير معرَّف عند \(n = 1\) أو \(n = 2\).
بأي وحدات تُقاس المساحات؟ إذا كان الضلع a بالسنتيمترات، فإن المساحات تكون بالسنتيمترات المربّعة — فالأداة لا تتقيّد بوحدة معيّنة وتحافظ على الاتّساق في كل شيء.
