ما هي الدائرة المحيطة بالمثلث؟
الدائرة المحيطة بالمثلث هي الدائرة الوحيدة التي تمرّ برؤوس المثلث الثلاثة جميعها. يُسمّى مركزها «مركز الدائرة المحيطة»، وهو النقطة التي تبعد المسافة نفسها عن كل رأس من رؤوس المثلث، بينما يُسمّى نصف قطرها «نصف قطر الدائرة المحيطة» ويُرمز له بالرمز \(R\). ولكل مثلث دائرة محيطة واحدة فقط، ما يجعل هذا المفهوم ركيزة أساسية في الهندسة وحساب المثلثات وأعمال التخطيط الهندسي.
كيف تستخدم هذه الحاسبة؟
أدخل أطوال أضلاع المثلث الثلاثة — \(a\) و\(b\) و\(c\) — بأي وحدة متّسقة (سنتيمتر، متر، بوصة، وما إلى ذلك). تحسب الأداة أولًا مساحة المثلث باستخدام صيغة هيرون، ثم تعرض نصف قطر الدائرة المحيطة إلى جانب قطر الدائرة ومحيطها ومساحتها المُحاطة. تأكّد من أن الأضلاع الثلاثة تُكوّن مثلثًا صحيحًا فعلًا: فطول كل ضلع يجب أن يكون أصغر من مجموع الضلعين الآخرين.
شرح الصيغة
يُعطى نصف قطر الدائرة المحيطة بالعلاقة $$R = \frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot \text{المساحة}}$$ ولإيجاد المساحة دون معرفة الارتفاع نستعين بصيغة هيرون. نحسب أولًا نصف المحيط $$s = \frac{a + b + c}{2}$$ ثم نطبّق $$\text{المساحة} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ وبتعويض هذه المساحة في المعادلة الأولى نحصل على نصف القطر. أمّا قطر الدائرة فهو \(2R\)، ومحيطها \(2\pi R\)، ومساحتها \(\pi R^2\).
مثال محلول
لنأخذ مثلثًا قائم الزاوية بأبعاد 3-4-5. نصف المحيط هو $$s = \frac{3+4+5}{2} = 6$$ تعطينا صيغة هيرون $$\text{المساحة} = \sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1} = \sqrt{36} = 6$$ ومن ثَمّ $$R = \frac{3\cdot 4\cdot 5}{4\cdot 6} = \frac{60}{24} = 2.5$$ وهذا يتوافق مع الحقيقة المعروفة بأن نصف قطر الدائرة المحيطة بمثلث قائم الزاوية يساوي نصف الوتر (\(5/2 = 2.5\)).
الأسئلة الشائعة
هل لكل مثلث دائرة محيطة؟ نعم. أي ثلاث نقاط غير واقعة على استقامة واحدة تُحدّد دائرة واحدة فقط، لذا فإن لكل مثلث صحيح دائرة محيطة واحدة.
أين يقع مركز الدائرة المحيطة بمثلث قائم الزاوية؟ يقع في منتصف الوتر، ولهذا يساوي نصف القطر \(R\) نصف الوتر.
ماذا لو كانت أضلاعي لا تُكوّن مثلثًا؟ إذا كانت المساحة الناتجة صفرًا أو غير مُعرّفة، فهذا يعني أن أطوال الأضلاع تخالف متباينة المثلث ولا توجد دائرة حقيقية في هذه الحالة.
