¿Qué es una circunferencia circunscrita?
La circunferencia circunscrita (o circuncírculo) es la única circunferencia que pasa por los tres vértices de un triángulo. Su centro es el circuncentro, el punto que equidista de cada vértice, y su radio recibe el nombre de circunradio, que se representa con la letra \(R\). Todo triángulo tiene exactamente una circunferencia circunscrita, lo que la convierte en un concepto esencial en geometría, trigonometría y en el trazado de planos en ingeniería.
Cómo usar esta calculadora
Introduce las longitudes de los tres lados del triángulo —\(a\), \(b\) y \(c\)— en una misma unidad (cm, m, pulgadas, etc.). La calculadora primero obtiene el área del triángulo mediante la fórmula de Herón y, a continuación, devuelve el circunradio junto con el diámetro, el perímetro y el área de la circunferencia. Asegúrate de que los tres lados forman realmente un triángulo válido: cada lado debe ser menor que la suma de los otros dos.
La fórmula explicada
El circunradio se calcula con la expresión $$R = \frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot \text{Área}}$$ Para hallar el área sin conocer la altura recurrimos a la fórmula de Herón. Primero calculamos el semiperímetro \(s = \frac{a + b + c}{2}\) y después $$\text{Área} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ Al sustituir este valor del área en la primera ecuación obtenemos el radio. El diámetro es \(2R\), el perímetro de la circunferencia es \(2\pi R\) y su área es \(\pi R^2\).
Ejemplo resuelto
Tomemos un triángulo rectángulo de lados 3-4-5. El semiperímetro es \(s = \frac{3+4+5}{2} = 6\). La fórmula de Herón da $$\text{Área} = \sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1} = \sqrt{36} = 6$$ Entonces $$R = \frac{3\cdot 4\cdot 5}{4\cdot 6} = \frac{60}{24} = 2{,}5$$ Este resultado coincide con la conocida propiedad de que, en un triángulo rectángulo, el circunradio equivale a la mitad de la hipotenusa (\(5/2 = 2{,}5\)).
Preguntas frecuentes
¿Todos los triángulos tienen circunferencia circunscrita? Sí. Tres puntos no alineados definen siempre una única circunferencia, de modo que todo triángulo válido tiene su circuncírculo.
¿Dónde está el circuncentro en un triángulo rectángulo? Se sitúa en el punto medio de la hipotenusa, motivo por el cual \(R\) es igual a la mitad de la hipotenusa.
¿Y si mis lados no forman un triángulo? Si el área resulta cero o indefinida, las longitudes incumplen la desigualdad triangular y no existe ninguna circunferencia real.
