외접원이란?
외접원(circumscribed circle)은 삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 단 하나의 원입니다. 이 원의 중심을 외심(circumcenter)이라고 하는데, 세 꼭짓점에서 같은 거리에 놓인 점이죠. 그리고 그 반지름을 외접원 반지름, 즉 외접반경(\(R\))이라고 부릅니다. 모든 삼각형은 정확히 하나의 외접원을 가지므로, 외접원은 기하학과 삼각법은 물론 건축·토목 설계 작업에서도 핵심이 되는 개념입니다.
계산기 사용 방법
삼각형의 세 변 길이 \(a\), \(b\), \(c\)를 입력하세요. 단위는 cm, m, inch 등 무엇이든 상관없지만 세 변 모두 같은 단위로 통일해야 합니다. 계산기는 먼저 헤론의 공식으로 삼각형의 넓이를 구한 다음, 외접원 반지름과 함께 원의 지름·둘레·넓이까지 한 번에 보여 줍니다. 입력한 세 변이 실제로 삼각형을 이루는지도 확인하세요. 어떤 한 변의 길이는 항상 나머지 두 변의 합보다 짧아야 합니다.
공식 풀이
외접원 반지름은 다음과 같이 구합니다.
$$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot \text{넓이}}$$높이를 모른 채 넓이를 구하려면 헤론의 공식을 씁니다. 먼저 반둘레 \(s = \frac{a + b + c}{2}\)를 계산한 뒤, 다음 식으로 넓이를 구합니다.
$$\text{넓이} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$이 넓이를 앞의 식에 대입하면 반지름이 나옵니다. 지름은 \(2R\), 원의 둘레는 \(2\pi R\), 원의 넓이는 \(\pi R^2\)입니다.
예제로 살펴보기
변의 길이가 3-4-5인 직각삼각형을 예로 들어 보겠습니다. 반둘레는 \(s = \frac{3+4+5}{2} = 6\)입니다. 헤론의 공식으로 넓이는 다음과 같습니다.
$$\text{넓이} = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6$$그러면 다음과 같습니다.
$$R = \frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{4 \cdot 6} = \frac{60}{24} = 2.5$$직각삼각형에서는 외접원 반지름이 빗변 길이의 절반(\(\frac{5}{2} = 2.5\))과 같다는 잘 알려진 사실과도 정확히 들어맞습니다.
자주 묻는 질문
모든 삼각형에 외접원이 있나요? 네. 한 직선 위에 있지 않은 세 점은 반드시 하나의 원을 결정하므로, 유효한 모든 삼각형은 외접원을 하나 가집니다.
직각삼각형의 외심은 어디에 있나요? 빗변의 중점에 위치합니다. 그래서 외접원 반지름이 빗변의 절반과 같아지는 것입니다.
입력한 변들이 삼각형을 이루지 못하면 어떻게 되나요? 넓이가 0이거나 계산되지 않는다면 세 변의 길이가 삼각형 부등식을 위반한 것이며, 이 경우 실제로 존재하는 원은 없습니다.
