이 계산기의 기능
이 도구는 주어진 반지름 \(r\)인 원에 외접하는 정다각형의 변의 길이와 넓이를 계산합니다. '원에 외접한다'는 것은 다각형을 원 바깥에 그려서 모든 변이 원에 딱 맞닿도록(접하도록) 한다는 뜻입니다. 그 결과 원은 다각형 안에 내접하게 되며, \(r\)은 모든 다각형의 변심거리(아포뎀, 내접원 반지름)가 됩니다. 즉 다각형 중심에서 임의의 변 중점까지의 수직 거리입니다. 변의 개수 \(n\)을 지정한 범위만큼 늘려가며 표를 만들고, 각 다각형의 넓이를 원의 넓이와 비교합니다.
사용 방법
원의 반지름 \(r\)(선택한 길이 단위의 양수)을 입력한 뒤, 변의 최소 개수(nMin, 최소 3)와 최대 개수(nMax)를 정하세요. 계산기는 nMin부터 nMax까지 각 정수 \(n\)에 대해 한 행씩 생성하여 변의 길이 \(a\)와 다각형 넓이 \(S_p\)를 보여주고, 표 위에 원의 넓이 \(S_c\)를 함께 표시합니다. 표는 최대 200행까지 출력됩니다.
공식 풀이
각 변은 중심각 \(2\pi/n\)에 대응합니다. 변을 접점에서 둘로 나누면 마주 보는 변이 \(a/2\), 인접 변이 \(r\)인 직각삼각형이 만들어지므로 \(a/2 = r\cdot\tan(\pi/n)\)이 되어 $$a = 2r\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$입니다. 다각형은 밑변이 \(a\), 높이가 \(r\)인 삼각형 \(n\)개로 나뉘므로 $$S_p = \tfrac{1}{2}\,n\,a\,r = n\,r^2\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$입니다. 내접원의 넓이는 $$S_c = \pi r^2$$입니다. 외접 다각형은 항상 원을 감싸므로 \(S_p\)는 언제나 \(S_c\)보다 크며, \(n\)이 커질수록 \(S_p\)는 \(S_c\)에 가까워집니다.
계산 예시
\(r = 1\), 정육각형(\(n = 6\))인 경우: $$a = 2\cdot\tan(\pi/6) = 2\cdot 0.57735 = 1.15470$$ $$S_p = 6\cdot 1\cdot 0.57735 = 3.46410$$ 원의 넓이는 \(S_c = \pi \approx 3.14159\)이므로, 다각형의 넓이가 원의 넓이보다 크다는 것을 확인할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
r은 변의 길이인가요, 변심거리인가요? 여기서 \(r\)은 변심거리(내접원 반지름)입니다. 다각형이 원을 감싸고 있으므로 원의 반지름은 각 변까지의 수직 거리와 같습니다.
왜 다각형의 넓이가 원의 넓이보다 큰가요? 외접 다각형은 항상 원을 품고 있으므로 넓이가 더 큽니다. 변의 개수가 많아질수록 두 값은 점점 가까워집니다.
단위는 무엇을 쓰나요? \(r\)은 일반적인 길이 단위입니다. 변의 길이도 같은 단위이며, 넓이는 그 단위의 제곱으로 표시됩니다. 별도의 단위 변환은 이루어지지 않습니다.
