Công cụ này làm gì
Công cụ này tính độ dài cạnh và diện tích của các đa giác đều ngoại tiếp một đường tròn có bán kính r cho trước. "Ngoại tiếp đường tròn" nghĩa là đa giác được vẽ bao quanh đường tròn sao cho mỗi cạnh đều vừa chạm (tiếp xúc) với đường tròn. Khi đó, đường tròn nội tiếp trong đa giác và r chính là trung đoạn (bán kính đường tròn nội tiếp) của mọi đa giác — tức khoảng cách vuông góc từ tâm đa giác đến trung điểm của một cạnh bất kỳ. Công cụ lập một bảng theo dải số cạnh n và so sánh diện tích từng đa giác với diện tích hình tròn.
Cách sử dụng
Nhập bán kính đường tròn r (một số dương bất kỳ theo đơn vị độ dài bạn chọn), sau đó chọn số cạnh nhỏ nhất (nMin, tối thiểu là 3) và số cạnh lớn nhất (nMax). Công cụ tạo một dòng cho mỗi số nguyên n từ nMin đến nMax, hiển thị độ dài cạnh a và diện tích đa giác Sp, đồng thời báo diện tích hình tròn Sc ở phía trên bảng. Bảng giới hạn tối đa 200 dòng.
Giải thích công thức
Mỗi cạnh của đa giác chắn một góc ở tâm bằng \(2\pi/n\). Chia một cạnh tại điểm tiếp xúc ta được một tam giác vuông với cạnh đối là \(a/2\) và cạnh kề là \(r\), nên \(a/2 = r\cdot\tan(\pi/n)\), suy ra $$a = 2r\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$ Đa giác được phân thành n tam giác, mỗi tam giác có đáy a và chiều cao r, nên $$S_p = \tfrac{1}{2}\,n\,a\,r = n\,r^2\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$ Đường tròn nội tiếp có diện tích $$S_c = \pi r^2$$ Vì mỗi đa giác ngoại tiếp đều bao trọn đường tròn nên Sp luôn lớn hơn Sc, và khi n tăng thì Sp giảm dần về Sc.
Ví dụ minh họa
Với \(r = 1\) và lục giác (\(n = 6\)): $$a = 2\cdot\tan\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\cdot 0.57735 = 1.15470$$ $$S_p = 6\cdot 1\cdot 0.57735 = 3.46410$$ Diện tích hình tròn là \(S_c = \pi \approx 3.14159\) — xác nhận diện tích đa giác lớn hơn diện tích hình tròn.
Câu hỏi thường gặp
r là cạnh hay trung đoạn? Ở đây r là trung đoạn (bán kính đường tròn nội tiếp). Đa giác bao quanh đường tròn, nên bán kính đường tròn bằng khoảng cách vuông góc đến mỗi cạnh.
Tại sao diện tích đa giác lại lớn hơn diện tích hình tròn? Đa giác ngoại tiếp luôn chứa đường tròn bên trong, nên diện tích của nó lớn hơn; hai giá trị hội tụ về nhau khi số cạnh tăng lên.
Dùng đơn vị nào? r là một đơn vị độ dài tổng quát. Độ dài cạnh dùng cùng đơn vị đó; diện tích tính theo đơn vị đó bình phương. Công cụ không thực hiện chuyển đổi đơn vị.
