這個計算器的用途
此工具用來計算外切於圓的正多邊形邊長與面積，圓的半徑為 \(r\)。所謂「外切於圓」，是指正多邊形畫在圓的外圍，使每一條邊都恰好與圓相切（接觸於一點）。因此這個圓被內切於多邊形之中，而 \(r\) 正是每個多邊形的邊心距（apothem，內切圓半徑）——也就是從多邊形中心到任一邊中點的垂直距離。計算器會針對一段邊數範圍內的每個 \(n\) 各產生一列資料，並將每個多邊形的面積與圓面積相互比較。
使用方法
先輸入圓的半徑 \(r\)（可填任意正數，單位由你自行選定的長度單位決定），接著設定最少邊數（nMin，至少為 3）與最多邊數（nMax）。計算器會從 nMin 到 nMax 之間的每個整數 \(n\) 各列出一行，顯示邊長 \(a\) 與多邊形面積 \(S_p\)，並在表格上方標示圓面積 \(S_c\)。表格最多顯示 200 列。
公式說明
多邊形的每一條邊所對應的圓心角為 \(2\pi/n\)。從切點處將一條邊切開，可得到一個直角三角形，其對邊為 \(a/2\)、鄰邊為 \(r\)，因此 \(a/2 = r\cdot\tan(\pi/n)\)，整理得 $$a = 2r\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$ 整個多邊形可分解為 \(n\) 個三角形，每個三角形以 \(a\) 為底、\(r\) 為高，所以 $$S_p = \tfrac{1}{2}\,n\,a\,r = n\,r^2\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$ 內切圓的面積為 $$S_c = \pi r^2$$ 由於每個外切多邊形都把圓包在裡面，\(S_p\) 必定大於 \(S_c\)；當 \(n\) 越大，\(S_p\) 就越接近 \(S_c\)。
實例演算
以 \(r = 1\)、正六邊形（\(n = 6\)）為例：$$a = 2\cdot\tan(\pi/6) = 2\cdot 0.57735 = 1.15470$$ $$S_p = 6\cdot 1\cdot 0.57735 = 3.46410$$ 圓面積為 \(S_c = \pi \approx 3.14159\)——可見多邊形面積確實大於圓面積。
常見問題
\(r\) 是邊長還是邊心距？在此 \(r\) 為邊心距（內切圓半徑）。多邊形包在圓的外圍，所以圓半徑等於到每一邊的垂直距離。
為什麼多邊形面積比圓面積大？外切多邊形一定把圓整個包覆在內，因此面積較大；隨著邊數增加，兩者會逐漸趨近一致。
使用什麼單位？\(r\) 為通用的長度單位。邊長使用相同單位，面積則為該單位的平方。本工具不會進行任何單位換算。
