什麼是 IQ 百分位數計算器？
IQ 分數是以常態分布（鐘形曲線）為基礎設計的，平均值設定為 100。所謂百分位排名，指的是在整體人口中，有多少比例的人分數等於或低於某個 IQ。舉例來說，百分位為 84，代表你的分數高於大約 84% 的人。這款計算器運用標準常態累積分布函數（CDF），將任何 IQ 分數精準換算成對應的百分位數。
使用方法
輸入 IQ 分數，並選擇與測驗相符的標準差。多數現代測驗（如魏氏 Wechsler、WAIS、WISC）採用 \(SD = 15\)；史比量表（Stanford-Binet）採用 \(SD = 16\)；卡特爾量表（Cattell）則採用 \(SD = 24\)。計算器會回傳百分位排名、分數高於你的人口比例，以及背後的 z 分數。
公式解析
首先，將 IQ 換算成 z 分數：$$z = \frac{IQ - 100}{SD}$$這個數值表示分數距離平均值有幾個標準差。接著，百分位數即為 $$100 \times \Phi(z)$$其中 \(\Phi\) 是標準常態累積分布函數，也就是鐘形曲線中 \(z\) 左側的面積。我們以高精度的誤差函數近似法來計算 \(\Phi\)，準確度約達 \(\pm 1.5 \times 10^{-7}\)。
實際範例
以 \(SD = 15\) 量尺上的 IQ 115 為例。z 分數為 \(\frac{115 - 100}{15} = 1.0\)。\(z = 1\) 時的標準常態 CDF 約為 0.8413，因此百分位數為 \(100 \times 0.8413 \approx 84.1\)。這代表此人的分數高於約 84% 的人口，而約有 16% 的人分數比他更高。
常見問題
第 50 百分位代表什麼？IQ 剛好為 100，即為整體人口的平均值，落在第 50 百分位。
標準差為什麼重要？同樣的 IQ 數字，在不同量尺上會對應到不同的百分位。IQ 130 在 SD 15 時為第 97.7 百分位，但在 SD 24 時僅為第 89.4 百分位。
這些分數準確嗎？百分位數是依據理想化的常態分布計算而得。實際的測驗常模可能略有差異，尤其是在分布兩端的極端值處。
