यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी दी गई त्रिज्या \(r\) वाले वृत्त के परिगत (circumscribed) नियमित बहुभुजों की भुजा-लंबाई और क्षेत्रफल निकालता है। "वृत्त के परिगत" का अर्थ है कि बहुभुज को वृत्त के चारों ओर इस तरह खींचा जाता है कि उसकी हर भुजा वृत्त को बस छूती है (यानी स्पर्श-रेखा बनती है)। इसके परिणामस्वरूप वृत्त बहुभुज के अंतर्गत आ जाता है, और \(r\) हर बहुभुज का अपोथेम (apothem) यानी अंतःत्रिज्या होती है — बहुभुज के केंद्र से किसी भी भुजा के मध्यबिंदु तक की लंब दूरी। यह भुजाओं की संख्या \(n\) की एक रेंज पर एक तालिका बनाता है और प्रत्येक बहुभुज के क्षेत्रफल की तुलना वृत्त के क्षेत्रफल से करता है।
इसका उपयोग कैसे करें
वृत्त की त्रिज्या \(r\) दर्ज करें (अपनी चुनी हुई लंबाई इकाई में कोई भी धनात्मक संख्या), फिर भुजाओं की सबसे कम संख्या (nMin, कम-से-कम 3) और सबसे अधिक संख्या (nMax) चुनें। कैलकुलेटर nMin से nMax तक प्रत्येक पूर्णांक \(n\) के लिए एक पंक्ति बनाता है, जिसमें भुजा-लंबाई \(a\) और बहुभुज का क्षेत्रफल \(S_p\) दिखाया जाता है, और तालिका के ऊपर वृत्त का क्षेत्रफल \(S_c\) दर्शाया जाता है। तालिका अधिकतम 200 पंक्तियों तक सीमित है।
सूत्रों की व्याख्या
बहुभुज की हर भुजा केंद्र पर \(2\pi/n\) का कोण बनाती है। भुजा को उसके स्पर्श-बिंदु पर विभाजित करने से एक समकोण त्रिभुज बनता है जिसमें सम्मुख भुजा \(a/2\) और संलग्न भुजा \(r\) होती है, इसलिए \(a/2 = r\cdot\tan(\pi/n)\), जिससे $$a = 2r\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$ मिलता है। बहुभुज \(n\) त्रिभुजों में बँट जाता है, जिनमें से हर एक का आधार \(a\) और ऊँचाई \(r\) होती है, इसलिए $$S_p = \tfrac{1}{2}\,n\,a\,r = n\,r^2\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$ अंतर्निहित वृत्त का क्षेत्रफल $$S_c = \pi r^2$$ होता है। चूँकि हर परिगत बहुभुज वृत्त को अपने अंदर घेरता है, इसलिए \(S_p\) हमेशा \(S_c\) से बड़ा होता है, और जैसे-जैसे \(n\) बढ़ता है, \(S_p\) घटकर \(S_c\) की ओर पहुँचता जाता है।
हल किया गया उदाहरण
\(r = 1\) और एक षट्भुज (\(n = 6\)) के लिए: $$a = 2\cdot\tan\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\cdot 0.57735 = 1.15470$$ $$S_p = 6\cdot 1\cdot 0.57735 = 3.46410$$ वृत्त का क्षेत्रफल \(S_c = \pi \approx 3.14159\) है — यह पुष्टि करता है कि बहुभुज का क्षेत्रफल वृत्त के क्षेत्रफल से अधिक है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या \(r\) भुजा है या अपोथेम? यहाँ \(r\) अपोथेम (अंतःत्रिज्या) है। बहुभुज वृत्त के चारों ओर लिपटा होता है, इसलिए वृत्त की त्रिज्या हर भुजा तक की लंब दूरी के बराबर होती है।
बहुभुज का क्षेत्रफल वृत्त के क्षेत्रफल से बड़ा क्यों होता है? परिगत बहुभुज हमेशा वृत्त को अपने अंदर रखता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल अधिक होता है; भुजाओं की संख्या बढ़ने पर ये दोनों एक-दूसरे के निकट आ जाते हैं।
कौन-सी इकाइयाँ उपयोग होती हैं? \(r\) एक सामान्य लंबाई इकाई है। भुजा-लंबाइयाँ उसी इकाई में होती हैं; क्षेत्रफल उस इकाई के वर्ग में होते हैं। कोई इकाई रूपांतरण नहीं किया जाता।
