यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल अल्बर्ट आइंस्टीन के विशेष सापेक्षता सिद्धांत का उपयोग करके किसी वस्तु की ऊर्जा निकालता है, जब उसका विश्राम द्रव्यमान और गति दी गई हो। विश्राम द्रव्यमान \(m_0\) (किलोग्राम में) और सापेक्षिक वेग \(v\) (किमी/सेकंड में) से यह चार परिणाम देता है: विश्राम ऊर्जा \(E_0\), कुल सापेक्षिक ऊर्जा \(E\), ऊर्जा अनुपात \(E/E_0\) (जो लॉरेंट्ज़ गुणक \(\gamma\) के बराबर होता है), और वेग को प्रकाश की गति के अंश के रूप में, यानी \(v/c\)। प्रकाश की गति निश्चित रूप से \(c = 299{,}792.458\) किमी/सेकंड (\(299{,}792{,}458\) मीटर/सेकंड) रखी गई है। यह सार्वभौमिक भौतिकी है और हर जगह समान रूप से लागू होती है — किसी देश-विशेष का दायरा नहीं।
इसका उपयोग कैसे करें
विश्राम द्रव्यमान किलोग्राम में और सापेक्षिक वेग किमी/सेकंड में दर्ज करें। वेग प्रकाश की गति से अधिक नहीं होना चाहिए। ऊर्जा मेगाजूल (MJ) में दर्शाई जाती है, जहाँ 1 MJ = 1,000,000 जूल। आंतरिक रूप से वेग को 1000 से गुणा करके मीटर/सेकंड में बदला जाता है, और सभी ऊर्जाएँ पहले जूल में निकाली जाती हैं, फिर प्रदर्शन के लिए 1e6 से भाग दिया जाता है।
सूत्र की व्याख्या
विश्राम ऊर्जा प्रसिद्ध समीकरण $$E_0 = m_0 c^2$$ से मिलती है। जब कोई वस्तु गति करती है, तो उसकी कुल ऊर्जा लॉरेंट्ज़ गुणक $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$$ के अनुपात में बढ़ती है, इसलिए कुल सापेक्षिक ऊर्जा $$E = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma\, m_0 c^2$$ होती है। चूँकि अनुपात \(E/E_0\) में \(m_0\) और \(c^2\) कट जाते हैं, यह ठीक \(\gamma\) के बराबर रहता है। जैसे-जैसे \(v\) प्रकाश की गति \(c\) के निकट पहुँचता है, वर्गमूल के अंदर का पद शून्य की ओर बढ़ता है और \(\gamma\) अनंत की ओर चला जाता है — यही दर्शाता है कि कोई भी द्रव्यमान वाली वस्तु प्रकाश की गति तक नहीं पहुँच सकती।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लें \(m_0 = 1\ \text{kg}\) और \(v = 200{,}000\) किमी/सेकंड। तब $$\beta = v/c = \frac{200000}{299792.458} = 0.667128$$ अतः \(\beta^2 = 0.445060\) और \(1 - \beta^2 = 0.554940\)। लॉरेंट्ज़ गुणक $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{0.554940}} = 1.342385$$ है। विश्राम ऊर्जा $$E_0 = 1 \times (299792458)^2 = 8.9876 \times 10^{16}\ \text{J} = 89{,}875{,}517{,}874\ \text{MJ}$$ कुल ऊर्जा $$E = 1.342385 \times E_0 = 120{,}649{,}140{,}000\ \text{MJ}$$ अनुपात \(E/E_0 = 1.342385\) और \(v/c = 66.71\,\%\) है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
ऊर्जा अनुपात लॉरेंट्ज़ गुणक के बराबर क्यों होता है? क्योंकि \(E = \gamma \cdot E_0\), और भाग देने पर \(E/E_0 = \gamma\) ठीक-ठीक प्राप्त होता है।
\(v = c\) पर क्या होता है? हर शून्य हो जाता है और \(\gamma\) अनंत हो जाता है, इसलिए कैलकुलेटर अनुपात को अनंत पर सीमित कर देता है; भौतिक रूप से कोई द्रव्यमान वाली वस्तु प्रकाश की गति तक नहीं पहुँच सकती।
यदि विश्राम द्रव्यमान शून्य हो तो? तब \(E_0\) और \(E\) दोनों शून्य होते हैं; अनुपात गणितीय रूप से अपरिभाषित (0/0) होता है, लेकिन प्रदर्शित अनुपात फिर भी लॉरेंट्ज़ गुणक \(\gamma\) दिखाता है।
