आयत का परिवृत्त (Circumscribed Circle) क्या होता है?
हर आयत के लिए एक ऐसा अनोखा वृत्त मौजूद होता है जो उसके चारों कोनों से होकर गुज़रता है — इसे परिवृत्त या circumcircle कहते हैं। इसका केंद्र ठीक वहीं होता है जहाँ आयत के दोनों विकर्ण (diagonals) एक-दूसरे को काटते हैं, और इसका व्यास आयत के विकर्ण के बराबर होता है। यह कैलकुलेटर आपसे आयत की दो भुजाएँ लेता है और परिवृत्त की त्रिज्या, व्यास तथा क्षेत्रफल, आयत का अपना क्षेत्रफल, और दोनों क्षेत्रफलों का अनुपात निकालकर देता है। यह पूरी तरह ज्यामिति (geometry) पर आधारित है और आप कोई भी लंबाई इकाई चुनें, गणना एक जैसी ही रहती है।
इसका इस्तेमाल कैसे करें
दोनों भुजाओं \(a\) और \(b\) को एक ही लंबाई इकाई में डालें (सेंटीमीटर, इंच, मीटर — जो भी आपको सुविधाजनक लगे)। दोनों मान शून्य से बड़े होने चाहिए। परिणाम उसी इकाई में मिलते हैं: त्रिज्या और व्यास के लिए लंबाई, दोनों क्षेत्रफलों के लिए वर्ग इकाई, और क्षेत्रफल अनुपात के लिए एक इकाई-रहित (dimensionless) संख्या।
सूत्र की पूरी समझ
आयत का विकर्ण उस समकोण त्रिभुज का कर्ण होता है जिसकी भुजाएँ \(a\) और \(b\) हैं, इसलिए इसकी लंबाई \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\) होती है। चूँकि यही विकर्ण परिवृत्त का व्यास भी है, इसलिए त्रिज्या उसकी आधी होती है:
$$r = \tfrac{1}{2}\sqrt{a^{2} + b^{2}}$$व्यास \(\phi = 2r\) होता है, वृत्त का क्षेत्रफल \(S_{c} = \pi r^{2}\), आयत का क्षेत्रफल \(S_{r} = a \cdot b\), और क्षेत्रफल अनुपात \(S_{c}/S_{r}\) होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a = 4\) और \(b = 3\): विकर्ण होगा \(\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\), इसलिए \(r = 2.5\) और \(\phi = 5\)। वृत्त का क्षेत्रफल
$$\pi \times 2.5^{2} = 19.6350$$आयत का क्षेत्रफल \(12\), और अनुपात \(19.6350 / 12 \approx 1.6362\) होगा।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल (FAQ)
क्या हर आयत का परिवृत्त बनता है? हाँ। आयत के चारों कोने विकर्णों के कटान-बिंदु से समान दूरी पर होते हैं, इसलिए एक ही वृत्त हमेशा उन सभी से होकर गुज़रता है।
और वर्ग (square) के मामले में क्या होगा? वर्ग एक विशेष प्रकार का आयत है जिसमें \(a = b\) होता है, इसलिए \(r = a/\sqrt{2}\) और \(\phi = a\sqrt{2}\)। यहाँ भी वही सूत्र लागू होते हैं।
क्षेत्रफल अनुपात हमेशा 1 से बड़ा क्यों होता है? वृत्त को आयत के कोनों को अपने भीतर समेटना होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल हमेशा आयत के क्षेत्रफल से अधिक रहता है। सबसे कम अनुपात \(\pi/2 \approx 1.5708\) होता है, जो वर्ग के लिए मिलता है।
