직사각형의 외접원이란?
모든 직사각형에는 네 꼭짓점을 모두 지나는 단 하나의 원이 존재합니다. 이를 외접원이라고 부릅니다. 외접원의 중심은 두 대각선이 만나는 지점에 정확히 위치하며, 지름은 직사각형의 대각선 길이와 같습니다. 이 계산기는 두 변의 길이를 입력받아 외접원의 반지름·지름·넓이, 직사각형 자체의 넓이, 그리고 두 넓이의 비율을 알려줍니다. 순수한 기하학 공식이므로 어떤 길이 단위를 사용하더라도 동일하게 작동합니다.
사용 방법
두 변의 길이 a와 b를 같은 단위(센티미터, 인치, 미터 등 원하는 단위)로 입력하세요. 두 값 모두 0보다 커야 합니다. 결과는 입력한 단위와 동일하게 나옵니다. 반지름과 지름은 길이 단위로, 두 넓이는 제곱 단위로, 넓이 비율은 단위가 없는 무차원 수로 표시됩니다.
공식 풀이
직사각형의 대각선은 두 변 a와 b를 직각변으로 하는 직각삼각형의 빗변이므로, 그 길이는 \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)입니다. 이 대각선이 외접원의 지름이 되기 때문에 반지름은 그 절반, 즉
$$r = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2}$$입니다. 지름은 \(\phi = 2r\), 원의 넓이는 \(S_{c} = \pi r^{2}\), 직사각형의 넓이는 \(S_{r} = a\cdot b\), 넓이 비율은 \(S_{c}/S_{r}\)로 구합니다.
계산 예시
a = 4, b = 3일 때를 살펴보겠습니다. 대각선은 \(\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\)이므로 \(r = 2.5\), \(\phi = 5\)가 됩니다. 원의 넓이는 \(\pi \times 2.5^{2} = 19.6350\), 직사각형의 넓이는 12이며, 비율은 \(19.6350 / 12 \approx 1.6362\)입니다.
자주 묻는 질문
모든 직사각형에 외접원이 존재하나요? 네. 네 꼭짓점이 모두 대각선의 교점에서 같은 거리에 있기 때문에, 이 꼭짓점들을 동시에 지나는 원이 항상 하나 존재합니다.
정사각형은 어떻게 되나요? 정사각형은 a = b인 특수한 직사각형이므로 \(r = a/\sqrt{2}\), \(\phi = a\sqrt{2}\)가 됩니다. 동일한 공식이 그대로 적용됩니다.
넓이 비율은 왜 항상 1보다 큰가요? 외접원은 직사각형의 꼭짓점들을 모두 감싸야 하므로 그 넓이는 언제나 직사각형보다 큽니다. 최솟값인 \(\pi/2 \approx 1.5708\)은 정사각형일 때 나타납니다.
