¿Qué es la circunferencia circunscrita a un rectángulo?
Todo rectángulo tiene una única circunferencia que pasa por sus cuatro vértices: la circunferencia circunscrita, también llamada circuncírculo. Su centro coincide exactamente con el punto donde se cruzan las dos diagonales, y su diámetro mide lo mismo que la diagonal del rectángulo. Esta calculadora toma las longitudes de los dos lados y devuelve el radio, el diámetro y el área de la circunferencia circunscrita, el área del propio rectángulo y la proporción entre ambas áreas. Es geometría pura y funciona igual con cualquier unidad de longitud que elijas.
Cómo usarla
Introduce las longitudes de los dos lados, a y b, en la misma unidad de longitud (centímetros, pulgadas, metros… la que prefieras). Ambos valores deben ser mayores que cero. Los resultados se expresan en esa misma unidad: longitudes para el radio y el diámetro, unidades cuadradas para las dos áreas y un número sin dimensiones para la proporción entre áreas.
La fórmula explicada
La diagonal de un rectángulo es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son a y b, de modo que su longitud es \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\). Como esa diagonal es un diámetro de la circunferencia circunscrita, el radio es la mitad:
$$r = \tfrac{1}{2}\sqrt{a^{2} + b^{2}}$$
El diámetro es \(\phi = 2r\), el área del círculo es \(S_{c} = \pi r^{2}\), el área del rectángulo es \(S_{r} = a\cdot b\) y la proporción entre áreas es \(S_{c}/S_{r}\).
Ejemplo resuelto
Para a = 4 y b = 3: la diagonal es
$$\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$
así que \(r = 2{,}5\) y \(\phi = 5\). El área del círculo es \(\pi \times 2{,}5^{2} = 19{,}6350\), el área del rectángulo es 12 y la proporción es \(19{,}6350 / 12 \approx 1{,}6362\).
Preguntas frecuentes
¿Todo rectángulo tiene circunferencia circunscrita? Sí. Como los cuatro vértices equidistan del punto donde se cortan las diagonales, siempre existe una única circunferencia que pasa por todos ellos.
¿Y en el caso de un cuadrado? Un cuadrado es un rectángulo especial con a = b, por lo que \(r = a/\sqrt{2}\) y \(\phi = a\sqrt{2}\). Se aplican las mismas fórmulas.
¿Por qué la proporción entre áreas siempre es mayor que 1? El círculo tiene que englobar los vértices del rectángulo, así que su área siempre supera a la del rectángulo. La proporción mínima, \(\pi/2 \approx 1{,}5708\), se da en el cuadrado.
