長方形の外接円とは
どんな長方形にも、4つの頂点をすべて通る円がただ一つ存在します。これが「外接円」です。その中心は2本の対角線が交わる点とちょうど一致し、直径は長方形の対角線の長さに等しくなります。本計算ツールでは、2辺の長さを入力するだけで、外接円の半径・直径・面積、長方形そのものの面積、そして両者の面積比を求めることができます。純粋な幾何学の計算なので、どの長さの単位を選んでも同じように使えます。
使い方
2辺の長さ \(a\) と \(b\) を、同じ長さの単位（cm、インチ、m など、お好みの単位）で入力してください。どちらの値も 0 より大きい必要があります。計算結果は入力と同じ単位で返されます。半径と直径は長さの単位、2つの面積は面積の単位、面積比は単位のない数値（無次元）として表示されます。
計算式の解説
長方形の対角線は、長さ \(a\) と \(b\) を直角を挟む2辺とする直角三角形の斜辺にあたるため、その長さは \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\) となります。この対角線が外接円の直径と一致するので、半径はその半分、すなわち
$$r = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2}$$です。直径は \(\phi = 2r\)、円の面積は \(S_{c} = \pi r^{2}\)、長方形の面積は \(S_{r} = a \cdot b\)、面積比は \(S_{c}/S_{r}\) で求められます。
計算例
\(a = 4\)、\(b = 3\) の場合：対角線は \(\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\) なので、\(r = 2.5\)、\(\phi = 5\) となります。円の面積は
$$\pi \times 2.5^{2} = 19.6350$$長方形の面積は 12、面積比は \(19.6350 / 12 \approx 1.6362\) です。
よくある質問
すべての長方形に外接円があるのですか？ はい、あります。4つの頂点はすべて対角線の交点から等しい距離にあるため、必ず1つの円がそれらを通ります。
正方形の場合はどうなりますか？ 正方形は \(a = b\) となる特別な長方形なので、\(r = a/\sqrt{2}\)、\(\phi = a\sqrt{2}\) となります。式は同じものがそのまま当てはまります。
なぜ面積比は常に1より大きいのですか？ 円は長方形の頂点を内側に取り囲む必要があるため、その面積は必ず長方形の面積を上回ります。比が最小になるのは正方形のときで、その値は \(\pi/2 \approx 1.5708\) です。
