Que calcule cet outil ?
Cet outil détermine la longueur du côté et l'aire des polygones réguliers circonscrits à un cercle de rayon r donné. « Circonscrit à un cercle » signifie que le polygone est tracé autour du cercle, de sorte que chacun de ses côtés vient effleurer (est tangent à) le cercle. Le cercle est alors inscrit dans le polygone, et r correspond à l'apothème (rayon du cercle inscrit) de tous les polygones : c'est la distance perpendiculaire entre le centre du polygone et le milieu de l'un de ses côtés. L'outil construit un tableau sur une plage de nombres de côtés n et compare l'aire de chaque polygone à celle du cercle.
Comment l'utiliser
Saisissez le rayon du cercle r (tout nombre positif dans l'unité de longueur de votre choix), puis indiquez le plus petit nombre de côtés (nMin, au minimum 3) et le plus grand (nMax). Le calculateur génère une ligne pour chaque entier \(n\) compris entre nMin et nMax, en affichant la longueur du côté a et l'aire du polygone Sp, et indique l'aire du cercle Sc au-dessus du tableau. Le tableau est limité à 200 lignes.
Les formules expliquées
Chaque côté du polygone sous-tend un angle au centre de \(2\pi/n\). En coupant un côté en son point de tangence, on obtient un triangle rectangle dont le côté opposé vaut \(a/2\) et le côté adjacent \(r\) ; on a donc \(a/2 = r\cdot\tan(\pi/n)\), d'où $$a = 2r\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$ Le polygone se décompose en n triangles, chacun de base a et de hauteur r, ce qui donne $$S_p = \tfrac{1}{2}\,n\,a\,r = n\,r^2\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$ Le cercle inscrit a pour aire $$S_c = \pi r^2$$ Comme chaque polygone circonscrit englobe le cercle, Sp est toujours supérieure à Sc, et à mesure que n augmente, Sp diminue et tend vers Sc.
Exemple résolu
Pour \(r = 1\) et un hexagone (\(n = 6\)) : $$a = 2\cdot\tan\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\cdot 0{,}57735 = 1{,}15470$$ $$S_p = 6\cdot 1\cdot 0{,}57735 = 3{,}46410$$ L'aire du cercle vaut \(S_c = \pi \approx 3{,}14159\) — ce qui confirme que l'aire du polygone dépasse celle du cercle.
FAQ
r est-il le côté ou l'apothème ? Ici, r est l'apothème (rayon du cercle inscrit). Le polygone enveloppe le cercle, donc le rayon du cercle est égal à la distance perpendiculaire jusqu'à chaque côté.
Pourquoi l'aire du polygone est-elle supérieure à celle du cercle ? Un polygone circonscrit contient toujours le cercle, son aire est donc plus grande ; les deux se rapprochent à mesure que le nombre de côtés augmente.
Quelles unités sont utilisées ? r est une unité de longueur générique. Les longueurs des côtés partagent cette unité ; les aires sont exprimées dans cette unité au carré. Aucune conversion d'unité n'est appliquée.
