この計算ツールでできること
このツールは、すべての辺と角が等しい正多角形（正n角形）を対象としています。一辺の長さ a と辺の数 n の範囲を入力すると、外接円（すべての頂点を通る円）の半径、その円の面積、そして多角形そのものの面積を計算します。指定した最小値から最大値までの整数nごとに1行ずつ表を作成するので、複数の図形をまとめて見比べることができます。これは純粋な平面幾何の計算なので、どの国・地域でも結果は同じです。単位や法制度は一切関係なく、面積はすべて、aに用いた長さの単位を2乗した単位で表されます。
使い方
一辺の長さ a（0より大きい値）を入力し、続いて辺の数の最小値と最大値を指定します。多角形は3辺以上で成り立つため、nは3以上の整数でなければなりません。表は最大200行までです。1つの図形だけを計算したい場合は、「から」と「まで」に同じ数値を入力してください。
計算式の解説
外接円の半径は、多角形を中心で交わるn個の二等辺三角形に分割することで求まります。各辺が中心に対して張る角（中心角）は \(2\pi/n\) なので、 $$r = \frac{a}{2\sin(\pi/n)}$$ となります。外接円の面積は基本公式 $$S_c = \pi r^2$$ です。多角形の面積は $$S_p = \frac{n\,a^2}{4\tan(\pi/n)}$$ で求まります。nが大きくなるほど多角形は外接円に限りなく近づくため、\(S_p\) は \(S_c\) に近づいていきます。これは計算結果の妥当性を確認する目安にもなります。
計算例
一辺 \(a = 1\) の正六角形（\(n = 6\)）を考えてみましょう。\(\pi/6 \approx 0.5236\) rad、\(\sin(\pi/6) = 0.5\) なので、 $$r = \frac{1}{2\times 0.5} = 1$$ となります。円の面積は $$S_c = \pi\times 1^2 \approx 3.14159$$ です。また \(\tan(\pi/6) \approx 0.57735\) なので、多角形の面積は $$S_p = \frac{6}{4\times 0.57735} \approx 2.59808$$ となります。
よくある質問
外接円の半径は内接円の半径（アポテム）と同じですか？ いいえ、違います。外接円の半径は頂点まで届きますが、アポテム（内接円の半径）は辺の中点までで、こちらの方が短くなります。
なぜnは3以上でなければならないのですか？ 辺が3本未満では面積を囲むことができず、また \(n = 1\) や \(2\) ではタンジェントの項が成り立たなくなるためです。
面積の単位は何になりますか？ aをセンチメートルで入力すれば、面積は平方センチメートルになります。このツールは特定の単位に依存せず、入力した単位に合わせて一貫した結果を返します。
