Что такое диагональ многоугольника?
Диагональ многоугольника — это отрезок прямой, который соединяет две несоседние вершины (углы). Стороны многоугольника диагоналями не считаются, потому что они соединяют соседние вершины. Этот калькулятор точно подскажет, сколько диагоналей у любого многоугольника — от треугольника до фигуры с тысячей сторон, используя классическую комбинаторную формулу.
Как пользоваться калькулятором
Введите число сторон n вашего многоугольника (оно совпадает с числом вершин), и калькулятор покажет общее количество диагоналей. Число сторон должно быть не меньше 3, ведь треугольник — это самый простой многоугольник. Обратите внимание: у треугольника диагоналей нет вовсе — все его вершины являются соседними.
Разбираем формулу
Формула выглядит так: $$D = \frac{n(n - 3)}{2}$$ Каждую из \(n\) вершин можно соединить с \(n - 3\) другими, чтобы получить диагональ: мы вычитаем саму вершину и две соседние с ней. В итоге получается \(n(n - 3)\) концов отрезков, но каждая диагональ учитывается дважды (по разу с каждого конца), поэтому результат делим на 2.
Пример с решением
Для пятиугольника \(n = 5\). Тогда $$D = \frac{5 \times (5 - 3)}{2} = \frac{5 \times 2}{2} = 5$$ Значит, у пятиугольника 5 диагоналей. Для шестиугольника \(n = 6\): \(D = \frac{6 \times 3}{2} = 9\) диагоналей. Для квадрата \(n = 4\): \(D = \frac{4 \times 1}{2} = 2\) диагонали (две пересекающиеся линии).
Частые вопросы
Работает ли это для любого многоугольника? Да — формула подходит как для выпуклых, так и для невыпуклых многоугольников, ведь количество диагоналей зависит только от числа вершин, а не от их расположения.
Почему у треугольника нет диагоналей? Все три вершины треугольника являются соседними друг другу, поэтому пар несоседних вершин для соединения просто нет. Формула это подтверждает: \(\frac{3 \times (3 - 3)}{2} = 0\).
Сколько диагоналей у 100-угольника? \(D = \frac{100 \times 97}{2} = 4850\) диагоналей.
