Что такое апофема?
Апофема правильного многоугольника — это перпендикуляр, опущенный из центра фигуры на середину любой её стороны. Поскольку все стороны правильного многоугольника одинаковы и равноудалены от центра, апофема будет одной и той же, к какой бы стороне вы её ни проводили. Иногда апофему называют радиусом вписанной окружности, ведь она равна радиусу самой большой окружности, которая помещается внутри многоугольника.
Как пользоваться калькулятором
Введите два значения: число сторон (\(n\)) и длину одной стороны (\(s\)). Калькулятор мгновенно выдаст апофему, а вместе с ней — периметр и площадь многоугольника. Число сторон должно быть не меньше 3 (треугольник — самый простой многоугольник). Длину стороны можно указывать в любых единицах — сантиметрах, дюймах, метрах — и апофема получится в тех же единицах.
Разбор формулы
Апофема вычисляется по формуле:
$$a = \frac{s}{2 \tan\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)}$$Здесь \(\pi/n\) — это половина центрального угла, опирающегося на одну сторону (в радианах). Если провести линию из центра к вершине и ещё одну — к середине стороны, получится прямоугольный треугольник, у которого противолежащий катет равен \(s/2\), а прилежащий — апофеме. Преобразовав равенство \(\tan(\pi/n) = (s/2) / a\), получаем формулу выше. Площадь затем находится по формуле \(A = \tfrac{1}{2} \times \text{периметр} \times \text{апофема}\).
Пример расчёта
Возьмём правильный шестиугольник (\(n = 6\)) со стороной \(s = 10\). Тогда \(\pi/n = \pi/6 = 0{,}5236\) рад, а \(\tan(\pi/6) \approx 0{,}57735\). Апофема равна $$a = \frac{10}{2 \times 0{,}57735} \approx 8{,}6603.$$ Периметр составляет \(6 \times 10 = 60\), а площадь — \(\tfrac{1}{2} \times 60 \times 8{,}6603 \approx 259{,}81\).
Частые вопросы
Апофема — это то же самое, что радиус? Нет. Апофема доходит до середины стороны (это радиус вписанной окружности), тогда как радиус описанной окружности дотягивается до вершины. Радиус описанной окружности всегда больше.
Подходит ли калькулятор для неправильных многоугольников? Нет — апофема определена только для правильных многоугольников, у которых все стороны и углы равны.
В каких единицах получается апофема? В тех же, в которых вы задали длину стороны. Формула чисто геометрическая и не зависит от выбора единиц измерения.
Таблица справочника апофемы для правильных многоугольников
Апофема правильного многоугольника — это перпендикулярное расстояние от центра до середины любой стороны. Она вычисляется из длины стороны \(s\) и количества сторон \(n\) по формуле:
$$a = \frac{s}{2 \tan\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)}$$Поскольку геометрия зависит только от \(n\), отношение \(a/s = \dfrac{1}{2\tan(\pi/n)}\) является фиксированной константой для каждой формы многоугольника. Чтобы найти вашу апофему, просто умножьте длину вашей стороны на отношение a/s в таблице ниже. Аналогично, площадь при длине стороны 1 — это коэффициент площади; умножьте его на \(s^2\), чтобы получить площадь для любой длины стороны, поскольку общая площадь равна \(A = \tfrac{1}{2}\,n\,s\,a = \tfrac{n}{4}\,s^2\cot(\pi/n)\).
| Стороны (n) | Название | tan(π/n) | Отношение апофемы a/s | Коэффициент площади (s = 1) |
|---|---|---|---|---|
| 3 | Треугольник | 1.732051 | 0.288675 | 0.433013 |
| 4 | Квадрат | 1.000000 | 0.500000 | 1.000000 |
| 5 | Пятиугольник | 0.726543 | 0.688191 | 1.720477 |
| 6 | Шестиугольник | 0.577350 | 0.866025 | 2.598076 |
| 7 | Семиугольник | 0.481575 | 1.038261 | 3.633912 |
| 8 | Восьмиугольник | 0.414214 | 1.207107 | 4.828427 |
| 9 | Девятиугольник | 0.363970 | 1.373739 | 6.181824 |
| 10 | Десятиугольник | 0.324920 | 1.538842 | 7.694209 |
| 11 | Одиннадцатиугольник | 0.293626 | 1.702844 | 9.365640 |
| 12 | Двенадцатиугольник | 0.267949 | 1.866025 | 11.196152 |
Например, правильный шестиугольник со стороной 1 имеет апофему 0.866025 и площадь 2.598076. Масштабируйте либо значение по фактической длине вашей стороны (апофема), либо его квадрат (площадь).
