¿Qué es la apotema?
La apotema de un polígono regular es la distancia perpendicular desde el centro del polígono hasta el punto medio de cualquiera de sus lados. Como en un polígono regular todos los lados son iguales y equidistan del centro, la apotema mide lo mismo sin importar a qué lado la midas. También se conoce como inradio o radio interior, ya que coincide con el radio de la mayor circunferencia que cabe dentro del polígono.
Cómo usar esta calculadora
Introduce dos valores: el número de lados (n) y la longitud de un lado (s). La calculadora te devuelve al instante la apotema, junto con el perímetro y el área del polígono. El número de lados debe ser como mínimo 3 (el triángulo es el polígono más sencillo). La longitud del lado puede expresarse en cualquier unidad —centímetros, pulgadas, metros— y la apotema resultará en esa misma unidad.
La fórmula, paso a paso
La apotema se obtiene con:
$$a = \frac{s}{2 \tan\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)}$$
Aquí \(\pi/n\) es la mitad del ángulo central que abarca un lado (en radianes). Si trazas una línea desde el centro hasta un vértice y otra hasta el punto medio de un lado, se forma un triángulo rectángulo cuyo cateto opuesto mide \(s/2\) y cuyo cateto adyacente es la apotema. Al despejar \(\tan(\pi/n) = (s/2) / a\) se llega a la fórmula anterior. El área se deduce después con \(A = \tfrac{1}{2} \times \text{perímetro} \times \text{apotema}\).
Ejemplo resuelto
Tomemos un hexágono regular (\(n = 6\)) con lado \(s = 10\). Entonces \(\pi/n = \pi/6 = 0{,}5236\) rad y \(\tan(\pi/6) \approx 0{,}57735\). La apotema es $$a = \frac{10}{2 \times 0{,}57735} \approx 8{,}6603.$$ El perímetro es \(6 \times 10 = 60\) y el área es \(\tfrac{1}{2} \times 60 \times 8{,}6603 \approx 259{,}81\).
Tabla de Referencia de Apotema para Polígonos Comunes
La apotema de un polígono regular es la distancia perpendicular desde el centro hasta el punto medio de cualquier lado. Se calcula a partir de la longitud del lado \(s\) y el número de lados \(n\) utilizando:
$$a = \frac{s}{2 \tan\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)}$$Dado que la geometría depende solo de \(n\), la relación \(a/s = \dfrac{1}{2\tan(\pi/n)}\) es una constante fija para cada forma de polígono. Para encontrar tu apotema, simplemente multiplica tu longitud de lado por la relación a/s en la tabla siguiente. Del mismo modo, el área para una longitud de lado de 1 es el coeficiente de área; multiplícalo por \(s^2\) para obtener el área para cualquier longitud de lado, ya que el área total es \(A = \tfrac{1}{2}\,n\,s\,a = \tfrac{n}{4}\,s^2\cot(\pi/n)\).
| Lados (n) | Nombre | tan(π/n) | Relación de apotema a/s | Coeficiente de área (s = 1) |
|---|---|---|---|---|
| 3 | Triángulo | 1.732051 | 0.288675 | 0.433013 |
| 4 | Cuadrado | 1.000000 | 0.500000 | 1.000000 |
| 5 | Pentágono | 0.726543 | 0.688191 | 1.720477 |
| 6 | Hexágono | 0.577350 | 0.866025 | 2.598076 |
| 7 | Heptágono | 0.481575 | 1.038261 | 3.633912 |
| 8 | Octágono | 0.414214 | 1.207107 | 4.828427 |
| 9 | Eneágono | 0.363970 | 1.373739 | 6.181824 |
| 10 | Decágono | 0.324920 | 1.538842 | 7.694209 |
| 11 | Endecágono | 0.293626 | 1.702844 | 9.365640 |
| 12 | Dodecágono | 0.267949 | 1.866025 | 11.196152 |
Por ejemplo, un hexágono regular con longitud de lado 1 tiene una apotema de 0.866025 y un área de 2.598076. Escala cualquiera de estos valores por tu longitud de lado real (apotema) o su cuadrado (área).
Preguntas frecuentes
¿La apotema es lo mismo que el radio? No. La apotema llega hasta el punto medio de un lado (el inradio), mientras que el circunradio llega hasta un vértice. El circunradio siempre es más largo.
¿Sirve para polígonos irregulares? No: la apotema solo está bien definida para polígonos regulares, en los que todos los lados y ángulos son iguales.
¿En qué unidades se expresa la apotema? En la misma unidad que hayas usado para la longitud del lado. La fórmula es puramente geométrica y no depende de las unidades.
