ما هو العمود (Apothem)؟
العمود في المضلع المنتظم هو المسافة العمودية الممتدة من مركز المضلع إلى منتصف أي ضلع من أضلاعه. وبما أن جميع أضلاع المضلع المنتظم متساوية وتبعد المسافة نفسها عن المركز، فإن طول العمود ثابت مهما كان الضلع الذي تقيس إليه. ويُسمّى أحيانًا «نصف القطر الداخلي»، لأنه يساوي نصف قطر أكبر دائرة يمكن أن تُرسم داخل المضلع.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل قيمتين فقط: عدد الأضلاع (\(n\)) وطول الضلع الواحد (\(s\)). تعرض الحاسبة على الفور طول العمود إلى جانب محيط المضلع ومساحته. يجب ألّا يقل عدد الأضلاع عن 3، لأن المثلث هو أبسط مضلع ممكن. ويمكن أن يكون طول الضلع بأي وحدة قياس — سنتيمتر أو إنش أو متر — وسيظهر طول العمود بالوحدة نفسها.
شرح القانون
يُحسب طول العمود بالعلاقة التالية:
$$a = \frac{s}{2 \tan\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)}$$
هنا \(\pi/n\) هي نصف الزاوية المركزية التي يقابلها ضلع واحد (مقيسة بالراديان). فإذا رسمنا خطًا من المركز إلى أحد الرؤوس وآخر إلى منتصف الضلع، نحصل على مثلث قائم الزاوية يكون ضلعه المقابل \(s/2\) وضلعه المجاور هو العمود. وبإعادة ترتيب العلاقة \(\tan(\pi/n) = (s/2) / a\) نصل إلى القانون أعلاه. ثم تُستنتج المساحة من العلاقة: المساحة = \(\tfrac{1}{2} \times\) المحيط \(\times\) العمود.
مثال محلول
لنأخذ سداسيًا منتظمًا (\(n = 6\)) طول ضلعه \(s = 10\). عندئذٍ \(\pi/n = \pi/6 = 0.5236\) راديان، و\(\tan(\pi/6) \approx 0.57735\). فيكون طول العمود $$a = \frac{10}{2 \times 0.57735} \approx 8.6603$$ أما المحيط فهو \(6 \times 10 = 60\)، والمساحة تساوي \(\tfrac{1}{2} \times 60 \times 8.6603 \approx 259.81\).
جدول مرجعي لقياس الأرضيات للمضلعات الشائعة
الأرضية (القطعة) في المضلع المنتظم هي المسافة العمودية من المركز إلى منتصف أي جانب. يتم حسابها من طول الجانب \(s\) وعدد الأضلاع \(n\) باستخدام:
$$a = \frac{s}{2 \tan\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)}$$نظراً لأن الهندسة تعتمد فقط على \(n\)، فإن النسبة \(a/s = \dfrac{1}{2\tan(\pi/n)}\) هي ثابت ثابت لكل شكل مضلع. للعثور على أرضيتك، ببساطة اضرب طول جانبك بنسبة a/s في الجدول أدناه. وبالمثل، المساحة لطول جانب واحد هي معامل المساحة؛ اضربه في \(s^2\) للحصول على المساحة لأي طول جانب، حيث أن المساحة الكلية هي \(A = \tfrac{1}{2}\,n\,s\,a = \tfrac{n}{4}\,s^2\cot(\pi/n)\).
| الأضلاع (n) | الاسم | tan(π/n) | نسبة الأرضية a/s | معامل المساحة (s = 1) |
|---|---|---|---|---|
| 3 | مثلث | 1.732051 | 0.288675 | 0.433013 |
| 4 | مربع | 1.000000 | 0.500000 | 1.000000 |
| 5 | خماسي | 0.726543 | 0.688191 | 1.720477 |
| 6 | سداسي | 0.577350 | 0.866025 | 2.598076 |
| 7 | سباعي | 0.481575 | 1.038261 | 3.633912 |
| 8 | ثماني | 0.414214 | 1.207107 | 4.828427 |
| 9 | تساعي | 0.363970 | 1.373739 | 6.181824 |
| 10 | عشاري | 0.324920 | 1.538842 | 7.694209 |
| 11 | حادي عشري | 0.293626 | 1.702844 | 9.365640 |
| 12 | ثنائي عشري | 0.267949 | 1.866025 | 11.196152 |
على سبيل المثال، سداسي منتظم بطول جانب 1 له أرضية 0.866025 ومساحة 2.598076. قم بقياس أي من القيمتين حسب طول جانبك الفعلي (الأرضية) أو مربعه (المساحة).
الأسئلة الشائعة
هل العمود هو نفسه نصف القطر؟ لا. العمود يصل إلى منتصف الضلع (نصف القطر الداخلي)، بينما نصف القطر المحيط يصل إلى أحد الرؤوس، وهو دائمًا أطول من العمود.
هل تصلح هذه الحاسبة للمضلعات غير المنتظمة؟ لا — فمفهوم العمود محدد بدقة فقط للمضلعات المنتظمة التي تتساوى فيها جميع الأضلاع والزوايا.
ما الوحدة التي يظهر بها طول العمود؟ الوحدة نفسها التي استخدمتها لطول الضلع، فالقانون هندسي بحت ولا يعتمد على وحدة قياس معينة.
