Trung đoạn (apothem) là gì?
Trung đoạn của một đa giác đều là khoảng cách vuông góc tính từ tâm đa giác đến trung điểm của một cạnh bất kỳ. Vì mọi cạnh của đa giác đều đều giống nhau và cách đều tâm, nên trung đoạn luôn bằng nhau dù bạn đo đến cạnh nào. Trung đoạn còn được gọi là bán kính đường tròn nội tiếp, bởi nó chính bằng bán kính của đường tròn lớn nhất nằm gọn bên trong đa giác.
Cách dùng công cụ này
Bạn chỉ cần nhập hai giá trị: số cạnh (\(n\)) và độ dài một cạnh (\(s\)). Công cụ sẽ ngay lập tức trả về trung đoạn cùng với chu vi và diện tích của đa giác. Số cạnh phải từ 3 trở lên (tam giác là đa giác đơn giản nhất). Độ dài cạnh có thể dùng bất kỳ đơn vị nào — centimet, inch hay mét — và trung đoạn sẽ có cùng đơn vị đó.
Giải thích công thức
Trung đoạn được tính theo công thức:
$$a = \frac{\text{Side Length}}{2 \tan\!\left(\dfrac{\pi}{\text{Number of Sides}}\right)}$$
Ở đây \(\pi/n\) là một nửa góc ở tâm chắn bởi một cạnh (tính bằng radian). Khi vẽ một đoạn từ tâm đến một đỉnh và một đoạn khác đến trung điểm của cạnh, ta tạo thành một tam giác vuông có cạnh đối là \(s/2\) và cạnh kề là trung đoạn. Biến đổi từ \(\tan(\pi/n) = (s/2) / a\) ta thu được công thức trên. Diện tích sau đó suy ra từ \(A = \tfrac{1}{2} \times \text{chu vi} \times \text{trung đoạn}\).
Ví dụ minh họa
Xét một lục giác đều (\(n = 6\)) có độ dài cạnh \(s = 10\). Khi đó \(\pi/n = \pi/6 = 0{,}5236\) rad và \(\tan(\pi/6) \approx 0{,}57735\). Trung đoạn là $$a = \frac{10}{2 \times 0{,}57735} \approx 8{,}6603.$$ Chu vi là \(6 \times 10 = 60\), và diện tích là \(\tfrac{1}{2} \times 60 \times 8{,}6603 \approx 259{,}81\).
Bảng Tham Chiếu Apothem cho các Đa Giác Thông Thường
Apothem của một đa giác đều là khoảng cách vuông góc từ tâm đến trung điểm của bất kỳ cạnh nào. Nó được tính từ độ dài cạnh \(s\) và số cạnh \(n\) bằng cách sử dụng:
$$a = \frac{s}{2 \tan\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)}$$Vì hình học chỉ phụ thuộc vào \(n\), tỷ lệ \(a/s = \dfrac{1}{2\tan(\pi/n)}\) là một hằng số cố định cho mỗi hình đa giác. Để tìm apothem của bạn, chỉ cần nhân độ dài cạnh của bạn với tỷ lệ a/s trong bảng dưới đây. Tương tự như vậy, diện tích cho độ dài cạnh 1 là hệ số diện tích; nhân nó với \(s^2\) để có diện tích cho bất kỳ độ dài cạnh nào, vì tổng diện tích là \(A = \tfrac{1}{2}\,n\,s\,a = \tfrac{n}{4}\,s^2\cot(\pi/n)\).
| Số cạnh (n) | Tên | tan(π/n) | Tỷ lệ apothem a/s | Hệ số diện tích (s = 1) |
|---|---|---|---|---|
| 3 | Tam giác | 1.732051 | 0.288675 | 0.433013 |
| 4 | Hình vuông | 1.000000 | 0.500000 | 1.000000 |
| 5 | Ngũ giác | 0.726543 | 0.688191 | 1.720477 |
| 6 | Lục giác | 0.577350 | 0.866025 | 2.598076 |
| 7 | Thất giác | 0.481575 | 1.038261 | 3.633912 |
| 8 | Bát giác | 0.414214 | 1.207107 | 4.828427 |
| 9 | Cửu giác | 0.363970 | 1.373739 | 6.181824 |
| 10 | Thập giác | 0.324920 | 1.538842 | 7.694209 |
| 11 | Thập nhất giác | 0.293626 | 1.702844 | 9.365640 |
| 12 | Thập nhị giác | 0.267949 | 1.866025 | 11.196152 |
Ví dụ, một lục giác đều có độ dài cạnh 1 có apothem là 0.866025 và diện tích là 2.598076. Nhân một trong hai giá trị với độ dài cạnh thực tế của bạn (apothem) hoặc bình phương của nó (diện tích).
Câu hỏi thường gặp
Trung đoạn có giống với bán kính không? Không. Trung đoạn chạm đến trung điểm của một cạnh (bán kính nội tiếp), trong khi bán kính ngoại tiếp chạm tới một đỉnh. Bán kính ngoại tiếp luôn dài hơn.
Công cụ này có dùng được cho đa giác không đều không? Không — trung đoạn chỉ được xác định rõ ràng với đa giác đều, nơi tất cả các cạnh và các góc đều bằng nhau.
Trung đoạn dùng đơn vị nào? Đơn vị nào bạn đã dùng cho độ dài cạnh thì trung đoạn dùng đơn vị đó. Công thức thuần túy hình học và không phụ thuộc vào đơn vị.
