Apotem Nedir?
Düzgün bir çokgenin apotemi, çokgenin merkezinden herhangi bir kenarın orta noktasına çizilen dik uzaklıktır. Düzgün çokgenlerde tüm kenarlar birbirinin aynısı ve merkeze eşit uzaklıkta olduğundan, hangi kenara ölçerseniz ölçün apotem değişmez. Çokgenin içine sığabilen en büyük dairenin yarıçapına eşit olduğu için zaman zaman iç teğet çember yarıçapı (iç yarıçap) olarak da anılır.
Bu Hesaplama Aracı Nasıl Kullanılır?
İki değer girin: kenar sayısı (\(n\)) ve bir kenarın uzunluğu (\(s\)). Hesaplayıcı, apotemi anında verir; ayrıca çokgenin çevresini ve alanını da gösterir. Kenar sayısı en az 3 olmalıdır (en basit çokgen üçgendir). Kenar uzunluğunu istediğiniz birimde girebilirsiniz — santimetre, inç, metre — ve apotem de aynı birimde çıkar.
Formülün Açıklaması
Apotem şu formülle bulunur:
$$a = \frac{\text{Kenar Uzunluğu}}{2 \tan\!\left(\dfrac{\pi}{\text{Kenar Sayısı}}\right)}$$
Buradaki \(\pi/n\), bir kenarın merkezde gördüğü merkez açının yarısıdır (radyan cinsinden). Merkezden bir köşeye, bir de kenarın orta noktasına çizgi çizdiğinizde bir dik üçgen oluşur; bu üçgende karşı kenar \(s/2\), komşu kenar ise apotemdir. \(\tan(\pi/n) = (s/2) / a\) eşitliğini yeniden düzenlediğinizde yukarıdaki formül ortaya çıkar. Alan da \(A = \tfrac{1}{2} \times \text{çevre} \times \text{apotem}\) bağıntısından elde edilir.
Çözümlü Örnek
Kenar uzunluğu \(s = 10\) olan düzgün bir altıgeni (\(n = 6\)) ele alalım. Bu durumda \(\pi/n = \pi/6 = 0{,}5236\) rad ve \(\tan(\pi/6) \approx 0{,}57735\) olur. Apotem $$a = \frac{10}{2 \times 0{,}57735} \approx 8{,}6603$$tür. Çevre \(6 \times 10 = 60\), alan ise \(\tfrac{1}{2} \times 60 \times 8{,}6603 \approx 259{,}81\) olarak bulunur.
Ortak Çokgenler için Apotema Referans Tablosu
Düzgün çokgenin apotemi, merkezden herhangi bir kenarın orta noktasına olan dik mesafedir. Kenar uzunluğu \(s\) ve kenar sayısı \(n\) kullanılarak şu şekilde hesaplanır:
$$a = \frac{s}{2 \tan\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)}$$Geometri yalnızca \(n\) bağımlı olduğundan, \(a/s = \dfrac{1}{2\tan(\pi/n)}\) oranı her çokgen şekli için sabit bir sabittir. Apoteminizi bulmak için, kenar uzunluğunuzu aşağıdaki tablodaki a/s oranı ile çarpmanız yeterlidir. Benzer şekilde, kenar uzunluğu 1 için alan, alan katsayısıdır; herhangi bir kenar uzunluğu için alanı elde etmek için bunu \(s^2\) ile çarpın, çünkü toplam alan \(A = \tfrac{1}{2}\,n\,s\,a = \tfrac{n}{4}\,s^2\cot(\pi/n)\) şeklindedir.
| Kenar Sayısı (n) | Adı | tan(π/n) | Apotema oranı a/s | Alan katsayısı (s = 1) |
|---|---|---|---|---|
| 3 | Üçgen | 1.732051 | 0.288675 | 0.433013 |
| 4 | Kare | 1.000000 | 0.500000 | 1.000000 |
| 5 | Pentagon | 0.726543 | 0.688191 | 1.720477 |
| 6 | Altıgen | 0.577350 | 0.866025 | 2.598076 |
| 7 | Yedigen | 0.481575 | 1.038261 | 3.633912 |
| 8 | Sekizgen | 0.414214 | 1.207107 | 4.828427 |
| 9 | Dokuzgen | 0.363970 | 1.373739 | 6.181824 |
| 10 | Ongen | 0.324920 | 1.538842 | 7.694209 |
| 11 | On birgen | 0.293626 | 1.702844 | 9.365640 |
| 12 | On ikigen | 0.267949 | 1.866025 | 11.196152 |
Örneğin, kenar uzunluğu 1 olan düzgün bir altıgenin apotemi 0.866025 ve alanı 2.598076'dır. Apoteminiz (veya alanınız) için gerçek kenar uzunluğu (apotema) veya karesine göre her iki değeri de ölçeklendiriniz.
Sıkça Sorulan Sorular
Apotem ile yarıçap aynı şey mi? Hayır. Apotem kenarın orta noktasına ulaşır (iç yarıçap), çevrel çember yarıçapı ise köşeye ulaşır. Çevrel yarıçap her zaman daha uzundur.
Düzensiz çokgenlerde de kullanılır mı? Hayır — apotem yalnızca tüm kenar ve açıları eşit olan düzgün çokgenler için tanımlıdır.
Apotem hangi birimde çıkar? Kenar uzunluğu için hangi birimi kullandıysanız o birimde. Formül tamamen geometriktir ve birimden bağımsızdır.
