Qu'est-ce que l'apothème ?
L'apothème d'un polygone régulier est la distance perpendiculaire entre le centre du polygone et le milieu de l'un de ses côtés. Comme tous les côtés d'un polygone régulier sont identiques et équidistants du centre, l'apothème reste le même quel que soit le côté considéré. On le désigne parfois sous le nom de rayon inscrit, car il correspond au rayon du plus grand cercle pouvant être inscrit dans le polygone.
Comment utiliser ce calculateur
Renseignez deux valeurs : le nombre de côtés (\(n\)) et la longueur d'un côté (\(s\)). Le calculateur affiche aussitôt l'apothème, ainsi que le périmètre et l'aire du polygone. Le nombre de côtés doit être d'au moins 3 (le triangle est le polygone le plus simple). La longueur du côté peut être exprimée dans n'importe quelle unité — centimètres, pouces, mètres — et l'apothème s'obtient dans cette même unité.
La formule expliquée
L'apothème se calcule ainsi :
$$a = \frac{\text{Longueur du côté}}{2 \tan\!\left(\dfrac{\pi}{\text{Nombre de côtés}}\right)}$$Ici, \(\pi/n\) représente la moitié de l'angle au centre sous-tendu par un côté (en radians). En traçant un segment du centre vers un sommet et un autre vers le milieu d'un côté, on forme un triangle rectangle dont le côté opposé mesure \(s/2\) et le côté adjacent correspond à l'apothème. En réarrangeant \(\tan(\pi/n) = (s/2) / a\), on obtient la formule ci-dessus. L'aire découle alors de \(A = \tfrac{1}{2} \times \text{périmètre} \times \text{apothème}\).
Exemple concret
Prenons un hexagone régulier (\(n = 6\)) dont le côté mesure \(s = 10\). Alors \(\pi/n = \pi/6 = 0{,}5236\) rad et \(\tan(\pi/6) \approx 0{,}57735\). L'apothème vaut $$a = \frac{10}{2 \times 0{,}57735} \approx 8{,}6603.$$ Le périmètre est de \(6 \times 10 = 60\), et l'aire de \(\tfrac{1}{2} \times 60 \times 8{,}6603 \approx 259{,}81\).
Tableau de référence de l'apothème pour les polygones courants
L'apothème d'un polygone régulier est la distance perpendiculaire du centre au point milieu de n'importe quel côté. Il est calculé à partir de la longueur du côté \(s\) et du nombre de côtés \(n\) en utilisant :
$$a = \frac{s}{2 \tan\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)}$$Comme la géométrie dépend uniquement de \(n\), le rapport \(a/s = \dfrac{1}{2\tan(\pi/n)}\) est une constante fixe pour chaque forme de polygone. Pour trouver votre apothème, multipliez simplement votre longueur de côté par le rapport a/s dans le tableau ci-dessous. De même, l'aire pour une longueur de côté de 1 est le coefficient d'aire ; multipliez-le par \(s^2\) pour obtenir l'aire pour n'importe quelle longueur de côté, puisque l'aire totale est \(A = \tfrac{1}{2}\,n\,s\,a = \tfrac{n}{4}\,s^2\cot(\pi/n)\).
| Côtés (n) | Nom | tan(π/n) | Rapport apothème a/s | Coefficient d'aire (s = 1) |
|---|---|---|---|---|
| 3 | Triangle | 1.732051 | 0.288675 | 0.433013 |
| 4 | Carré | 1.000000 | 0.500000 | 1.000000 |
| 5 | Pentagone | 0.726543 | 0.688191 | 1.720477 |
| 6 | Hexagone | 0.577350 | 0.866025 | 2.598076 |
| 7 | Heptagone | 0.481575 | 1.038261 | 3.633912 |
| 8 | Octogone | 0.414214 | 1.207107 | 4.828427 |
| 9 | Nonagone | 0.363970 | 1.373739 | 6.181824 |
| 10 | Décagone | 0.324920 | 1.538842 | 7.694209 |
| 11 | Hendécagone | 0.293626 | 1.702844 | 9.365640 |
| 12 | Dodécagone | 0.267949 | 1.866025 | 11.196152 |
Par exemple, un hexagone régulier ayant une longueur de côté de 1 a un apothème de 0.866025 et une aire de 2.598076. Multipliez l'une ou l'autre valeur par votre longueur de côté réelle (apothème) ou par son carré (aire).
FAQ
L'apothème est-il identique au rayon ? Non. L'apothème atteint le milieu d'un côté (rayon inscrit), tandis que le rayon circonscrit atteint un sommet. Le rayon circonscrit est toujours plus long.
Cela fonctionne-t-il pour les polygones irréguliers ? Non — l'apothème n'est défini que pour les polygones réguliers, dont tous les côtés et tous les angles sont égaux.
Dans quelle unité s'exprime l'apothème ? Dans celle utilisée pour la longueur du côté. La formule est purement géométrique et ne dépend d'aucune unité.
