什麼是邊心距？
正多邊形的邊心距（apothem），是指從多邊形的中心點，垂直連到任一條邊中點的距離。由於正多邊形的每一條邊都完全相同，且與中心的距離也相等，因此不論你量的是哪一條邊，得到的邊心距都一樣。邊心距又稱為「內切圓半徑」，因為它正好等於能完整塞進這個多邊形內的最大圓形之半徑。
如何使用這個計算機
只需輸入兩個數值：邊數（\(n\)）以及單邊的長度（\(s\)）。計算機會立刻算出邊心距，並一併顯示多邊形的周長與面積。邊數至少要為 3（三角形是最簡單的多邊形）。邊長可以使用任何單位——公分、英吋或公尺都行——而算出的邊心距也會是相同的單位。
公式詳解
邊心距的計算公式如下：
$$a = \frac{s}{2 \cdot \tan\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)}$$
其中，\(\pi/n\) 是單邊所對應中心角的一半（以弧度為單位）。從中心畫一條線到頂點，再畫一條線到邊的中點，就會構成一個直角三角形：它的對邊為 \(s/2\)，鄰邊則正是邊心距。將 \(\tan(\pi/n) = (s/2) / a\) 移項整理，即可得到上方的公式。算出邊心距後，面積便可由 \(A = \tfrac{1}{2} \times \text{周長} \times \text{邊心距}\) 求得。
範例演算
以一個正六邊形（\(n = 6\)）為例，邊長 \(s = 10\)。此時 \(\pi/n = \pi/6 = 0.5236\) 弧度，而 \(\tan(\pi/6) \approx 0.57735\)。邊心距為 $$a = \frac{10}{2 \times 0.57735} \approx 8.6603$$ 周長為 \(6 \times 10 = 60\)，面積則為 \(\tfrac{1}{2} \times 60 \times 8.6603 \approx 259.81\)。
常見多邊形的內切圓半徑參考表
正多邊形的內切圓半徑是從中心到任意邊的中點的垂直距離。它根據邊長 \(s\) 和邊數 \(n\) 計算，公式為：
$$a = \frac{s}{2 \tan\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)}$$由於幾何性質僅取決於 \(n\)，比率 \(a/s = \dfrac{1}{2\tan(\pi/n)}\) 對於每種多邊形形狀都是固定常數。若要找到您的內切圓半徑，只需將您的邊長乘以下表中的 a/s 比率。同樣，邊長為 1 時的面積是 面積係數；將其乘以 \(s^2\) 即可得到任意邊長的面積，因為總面積是 \(A = \tfrac{1}{2}\,n\,s\,a = \tfrac{n}{4}\,s^2\cot(\pi/n)\)。
| 邊數 (n) | 名稱 | tan(π/n) | 內切圓半徑比率 a/s | 面積係數 (s = 1) |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 三角形 | 1.732051 | 0.288675 | 0.433013 |
| 4 | 正方形 | 1.000000 | 0.500000 | 1.000000 |
| 5 | 五邊形 | 0.726543 | 0.688191 | 1.720477 |
| 6 | 六邊形 | 0.577350 | 0.866025 | 2.598076 |
| 7 | 七邊形 | 0.481575 | 1.038261 | 3.633912 |
| 8 | 八邊形 | 0.414214 | 1.207107 | 4.828427 |
| 9 | 九邊形 | 0.363970 | 1.373739 | 6.181824 |
| 10 | 十邊形 | 0.324920 | 1.538842 | 7.694209 |
| 11 | 十一邊形 | 0.293626 | 1.702844 | 9.365640 |
| 12 | 十二邊形 | 0.267949 | 1.866025 | 11.196152 |
例如，邊長為 1 的正六邊形的內切圓半徑為 0.866025，面積為 2.598076。按照您的實際邊長（內切圓半徑）或其平方（面積）進行縮放。
常見問題
邊心距和半徑是同一回事嗎？ 不是。邊心距連到的是邊的中點（即內切圓半徑），而外接圓半徑連到的是頂點。外接圓半徑一定比邊心距長。
不規則多邊形也能用這個計算機嗎？ 不行——邊心距只在正多邊形中才有明確定義，因為正多邊形的每條邊與每個角都相等。
邊心距使用什麼單位？ 與你輸入邊長時所用的單位相同。這個公式純屬幾何運算，與單位無關。
