अपोथेम क्या होता है?
किसी समबहुभुज का अपोथेम उसके केंद्र से किसी भी एक भुजा के मध्यबिंदु तक की लंबवत दूरी होती है। चूँकि समबहुभुज की हर भुजा एक जैसी होती है और केंद्र से समान दूरी पर होती है, इसलिए आप चाहे किसी भी भुजा तक नापें, अपोथेम का मान वही रहता है। इसे कभी-कभी अंतःत्रिज्या (inradius) भी कहा जाता है, क्योंकि यह उस सबसे बड़े वृत्त की त्रिज्या के बराबर होता है जो बहुभुज के अंदर समा सकता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
बस दो मान भरें: भुजाओं की संख्या (\(n\)) और किसी एक भुजा की लंबाई (\(s\))। कैलकुलेटर तुरंत अपोथेम के साथ-साथ बहुभुज का परिमाप और क्षेत्रफल भी दिखा देगा। भुजाओं की संख्या कम से कम 3 होनी चाहिए (त्रिभुज सबसे सरल बहुभुज है)। भुजा की लंबाई किसी भी इकाई में हो सकती है — सेंटीमीटर, इंच या मीटर — और अपोथेम भी उसी इकाई में मिलेगा।
सूत्र की व्याख्या
अपोथेम इस सूत्र से निकाला जाता है:
$$a = \frac{s}{2 \tan\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)}$$यहाँ \(\pi/n\) एक भुजा द्वारा केंद्र पर बनाए गए कोण का आधा हिस्सा है (रेडियन में)। यदि आप केंद्र से एक शीर्ष तक और दूसरी रेखा किसी भुजा के मध्यबिंदु तक खींचें, तो एक समकोण त्रिभुज बनता है जिसकी सामने वाली भुजा \(s/2\) और आसन्न भुजा अपोथेम होती है। \(\tan(\pi/n) = (s/2) / a\) को पुनर्व्यवस्थित करने पर ऊपर दिया गया सूत्र मिलता है। इसके बाद क्षेत्रफल इस सूत्र से निकलता है: \(A = \tfrac{1}{2} \times \text{परिमाप} \times \text{अपोथेम}\)।
हल किया हुआ उदाहरण
एक समषट्भुज (\(n = 6\)) लें जिसकी भुजा की लंबाई \(s = 10\) हो। तब \(\pi/n = \pi/6 = 0.5236\) रेडियन और \(\tan(\pi/6) \approx 0.57735\)। अपोथेम होगा $$a = \frac{10}{2 \times 0.57735} \approx 8.6603$$ परिमाप होगा \(6 \times 10 = 60\), और क्षेत्रफल होगा \(\tfrac{1}{2} \times 60 \times 8.6603 \approx 259.81\)।
सामान्य बहुभुजों के लिए अंत:त्रिज्या संदर्भ तालिका
एक नियमित बहुभुज की अंत:त्रिज्या केंद्र से किसी भी भुजा के मध्य बिंदु तक की लंबवत दूरी है। इसकी गणना भुजा की लंबाई \(s\) और भुजाओं की संख्या \(n\) का उपयोग करके की जाती है:
$$a = \frac{s}{2 \tan\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)}$$क्योंकि ज्यामिति केवल \(n\) पर निर्भर करती है, अनुपात \(a/s = \dfrac{1}{2\tan(\pi/n)}\) प्रत्येक बहुभुज आकार के लिए एक निश्चित स्थिरांक है। अपनी अंत:त्रिज्या खोजने के लिए, बस अपनी भुजा की लंबाई को नीचे दी गई तालिका में a/s अनुपात से गुणा करें। इसी तरह, भुजा की लंबाई 1 के लिए क्षेत्रफल क्षेत्रफल गुणांक है; किसी भी भुजा की लंबाई के लिए क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए इसे \(s^2\) से गुणा करें, क्योंकि कुल क्षेत्रफल \(A = \tfrac{1}{2}\,n\,s\,a = \tfrac{n}{4}\,s^2\cot(\pi/n)\) है।
| भुजाएं (n) | नाम | tan(π/n) | अंत:त्रिज्या अनुपात a/s | क्षेत्रफल गुणांक (s = 1) |
|---|---|---|---|---|
| 3 | त्रिभुज | 1.732051 | 0.288675 | 0.433013 |
| 4 | वर्ग | 1.000000 | 0.500000 | 1.000000 |
| 5 | पंचभुज | 0.726543 | 0.688191 | 1.720477 |
| 6 | षट्भुज | 0.577350 | 0.866025 | 2.598076 |
| 7 | सप्तभुज | 0.481575 | 1.038261 | 3.633912 |
| 8 | अष्टभुज | 0.414214 | 1.207107 | 4.828427 |
| 9 | नवभुज | 0.363970 | 1.373739 | 6.181824 |
| 10 | दशभुज | 0.324920 | 1.538842 | 7.694209 |
| 11 | एकादशभुज | 0.293626 | 1.702844 | 9.365640 |
| 12 | द्वादशभुज | 0.267949 | 1.866025 | 11.196152 |
उदाहरण के लिए, 1 की भुजा की लंबाई वाले एक नियमित षट्भुज की अंत:त्रिज्या 0.866025 है और इसका क्षेत्रफल 2.598076 है। अपनी वास्तविक भुजा की लंबाई (अंत:त्रिज्या) या इसके वर्ग (क्षेत्रफल) द्वारा दोनों मानों को मापें।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या अपोथेम और त्रिज्या एक ही चीज़ हैं? नहीं। अपोथेम भुजा के मध्यबिंदु तक पहुँचता है (अंतःत्रिज्या), जबकि परित्रिज्या (circumradius) किसी शीर्ष तक पहुँचती है। परित्रिज्या हमेशा अपोथेम से लंबी होती है।
क्या यह अनियमित बहुभुजों के लिए काम करता है? नहीं — अपोथेम केवल समबहुभुजों के लिए ही परिभाषित होता है, जहाँ सभी भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं।
अपोथेम किस इकाई में मिलता है? जिस इकाई में आपने भुजा की लंबाई भरी है, उसी इकाई में। यह सूत्र पूरी तरह ज्यामितीय है और किसी इकाई पर निर्भर नहीं करता।
