아포템(변심거리)이란?
정다각형의 아포템은 다각형의 중심에서 한 변의 중점까지 수직으로 그은 거리를 말합니다. 우리말로는 '변심거리'라고도 합니다. 정다각형은 모든 변이 똑같고 중심으로부터 같은 거리에 있기 때문에, 어느 변을 기준으로 재든 아포템 값은 동일합니다. 이 값은 다각형 안에 꼭 들어맞는 가장 큰 원의 반지름과 같아서 '내접원의 반지름(내접반경)'이라고 부르기도 합니다.
계산기 사용 방법
두 가지 값만 입력하면 됩니다. 변의 개수(\(n\))와 한 변의 길이(\(s\))입니다. 그러면 아포템은 물론 다각형의 둘레와 넓이까지 즉시 계산해 보여 줍니다. 변의 개수는 최소 3개 이상이어야 합니다(삼각형이 가장 단순한 다각형이기 때문입니다). 한 변의 길이는 센티미터, 인치, 미터 등 어떤 단위든 사용할 수 있으며, 아포템도 입력한 것과 같은 단위로 나옵니다.
공식 풀이
아포템은 다음 공식으로 구합니다.
$$a = \frac{\text{Side Length}}{2 \tan\!\left(\dfrac{\pi}{\text{Number of Sides}}\right)}$$
여기서 \(\pi/n\)은 한 변이 중심에서 이루는 중심각의 절반(라디안 단위)입니다. 중심에서 한 꼭짓점으로 선을 긋고, 다시 한 변의 중점으로 선을 그으면 직각삼각형이 만들어집니다. 이 삼각형에서 마주 보는 변(대변)의 길이는 \(s/2\)이고, 이웃한 변(인접변)이 바로 아포템입니다. \(\tan(\pi/n) = (s/2) / a\) 를 정리하면 위 공식이 나옵니다. 넓이는 여기서 이어지는 \(A = \frac{1}{2} \times \text{둘레} \times \text{아포템}\) 공식으로 구할 수 있습니다.
예제로 알아보기
한 변의 길이 \(s = 10\)인 정육각형(\(n = 6\))을 예로 들어 보겠습니다. 이때 \(\pi/n = \pi/6 = 0.5236 \text{ rad}\)이고 \(\tan(\pi/6) \approx 0.57735\)입니다. 따라서 아포템은 $$a = \frac{10}{2 \times 0.57735} \approx 8.6603$$이 됩니다. 둘레는 \(6 \times 10 = 60\)이고, 넓이는 \(\frac{1}{2} \times 60 \times 8.6603 \approx 259.81\)입니다.
일반적인 다각형을 위한 변심거리 참고표
정다각형의 변심거리(apothem)는 중심에서 임의의 한 변의 중점까지의 수직 거리입니다. 이는 변의 길이 \(s\)와 변의 개수 \(n\)을 사용하여 다음과 같이 계산됩니다:
$$a = \frac{s}{2 \tan\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)}$$기하학이 \(n\)에만 의존하므로, 비율 \(a/s = \dfrac{1}{2\tan(\pi/n)}\)은 각 다각형 모양에 대해 고정된 상수입니다. 변심거리를 구하려면 변의 길이에 아래 표의 a/s 비율을 곱하기만 하면 됩니다. 마찬가지로, 변의 길이가 1일 때의 넓이는 넓이 계수입니다. 이를 \(s^2\)에 곱하면 임의의 변의 길이에 대한 넓이를 얻을 수 있습니다. 왜냐하면 전체 넓이는 \(A = \tfrac{1}{2}\,n\,s\,a = \tfrac{n}{4}\,s^2\cot(\pi/n)\)이기 때문입니다.
| 변의 개수 (n) | 이름 | tan(π/n) | 변심거리 비율 a/s | 넓이 계수 (s = 1) |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 삼각형 | 1.732051 | 0.288675 | 0.433013 |
| 4 | 정사각형 | 1.000000 | 0.500000 | 1.000000 |
| 5 | 오각형 | 0.726543 | 0.688191 | 1.720477 |
| 6 | 육각형 | 0.577350 | 0.866025 | 2.598076 |
| 7 | 칠각형 | 0.481575 | 1.038261 | 3.633912 |
| 8 | 팔각형 | 0.414214 | 1.207107 | 4.828427 |
| 9 | 구각형 | 0.363970 | 1.373739 | 6.181824 |
| 10 | 십각형 | 0.324920 | 1.538842 | 7.694209 |
| 11 | 십일각형 | 0.293626 | 1.702844 | 9.365640 |
| 12 | 십이각형 | 0.267949 | 1.866025 | 11.196152 |
예를 들어, 변의 길이가 1인 정육각형의 변심거리는 0.866025이고 넓이는 2.598076입니다. 실제 변의 길이(변심거리) 또는 그 제곱(넓이)에 따라 값을 조정하세요.
자주 묻는 질문
아포템이 반지름과 같은 건가요? 아닙니다. 아포템은 변의 중점까지 닿는 거리(내접원 반지름)이고, 외접원 반지름은 꼭짓점까지 닿는 거리입니다. 외접원 반지름이 항상 더 깁니다.
부등변(불규칙) 다각형에도 쓸 수 있나요? 아니요. 아포템은 모든 변과 각이 똑같은 정다각형에서만 명확하게 정의됩니다.
아포템의 단위는 무엇인가요? 한 변의 길이에 사용한 단위를 그대로 따릅니다. 이 공식은 순수하게 기하학적이라 어떤 단위에도 무관하게 적용됩니다.
