什么是边心距？
正多边形的边心距，是指从多边形中心到任意一条边中点的垂直距离。由于正多边形的每条边都完全相同、且与中心等距，因此无论量到哪一条边，边心距都是一样的。它也常被称为"内切圆半径"，因为它正好等于能完整嵌入多边形内部的最大圆的半径。
如何使用本计算器
只需输入两个数值：边数（\(n\)）和一条边的长度（\(s\)）。计算器会立即给出边心距，并同时算出该多边形的周长和面积。边数至少为 3（三角形是最简单的多边形）。边长可以使用任意单位——厘米、英寸、米都可以——算出的边心距会自动采用相同的单位。
公式详解
边心距的计算公式为：
$$a = \frac{s}{2 \tan\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)}$$其中 \(\pi/n\) 是一条边所对应中心角的一半（以弧度表示）。从中心分别向一个顶点和一条边的中点各作一条线，就能构成一个直角三角形：其对边长为 \(s/2\)，邻边即为边心距。将 \(\tan(\pi/n) = (s/2) / a\) 变形整理，便可得到上面的公式。求出边心距后，面积即可由 \(A = \tfrac{1}{2} \times \text{周长} \times \text{边心距}\) 得出。
实例演算
以一个正六边形（\(n = 6\)）为例，边长 \(s = 10\)。此时 \(\pi/n = \pi/6 = 0.5236\) 弧度，\(\tan(\pi/6) \approx 0.57735\)。代入公式得边心距 $$a = \frac{10}{2 \times 0.57735} \approx 8.6603$$周长为 \(6 \times 10 = 60\)，面积为 \(\tfrac{1}{2} \times 60 \times 8.6603 \approx 259.81\)。
常见多边形的边心距参考表
正多边形的边心距是从中心到任意一边中点的垂直距离。它由边长 \(s\) 和边数 \(n\) 计算，公式为：
$$a = \frac{s}{2 \tan\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)}$$由于几何形状仅取决于 \(n\)，比值 \(a/s = \dfrac{1}{2\tan(\pi/n)}\) 对每种多边形是一个固定常数。要找到你的边心距，只需将你的边长乘以下表中的边心距比 a/s。同样，边长为 1 时的面积就是面积系数；将其乘以 \(s^2\) 可得到任意边长的面积，因为总面积为 \(A = \tfrac{1}{2}\,n\,s\,a = \tfrac{n}{4}\,s^2\cot(\pi/n)\)。
| 边数 (n) | 名称 | tan(π/n) | 边心距比 a/s | 面积系数 (s = 1) |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 三角形 | 1.732051 | 0.288675 | 0.433013 |
| 4 | 正方形 | 1.000000 | 0.500000 | 1.000000 |
| 5 | 五边形 | 0.726543 | 0.688191 | 1.720477 |
| 6 | 六边形 | 0.577350 | 0.866025 | 2.598076 |
| 7 | 七边形 | 0.481575 | 1.038261 | 3.633912 |
| 8 | 八边形 | 0.414214 | 1.207107 | 4.828427 |
| 9 | 九边形 | 0.363970 | 1.373739 | 6.181824 |
| 10 | 十边形 | 0.324920 | 1.538842 | 7.694209 |
| 11 | 十一边形 | 0.293626 | 1.702844 | 9.365640 |
| 12 | 十二边形 | 0.267949 | 1.866025 | 11.196152 |
例如，边长为 1 的正六边形的边心距为 0.866025，面积为 2.598076。根据你的实际边长缩放边心距值，或根据其平方缩放面积值。
常见问题
边心距和半径是一回事吗？ 不是。边心距指向边的中点（即内切圆半径），而外接圆半径指向顶点。外接圆半径总是更长。
这个计算器适用于不规则多边形吗？ 不适用。边心距只对正多边形有明确定义，因为正多边形的所有边和角都相等。
边心距使用什么单位？ 你为边长所使用的单位是什么，边心距就用什么单位。该公式纯属几何关系，与单位无关。
