Что такое кумулятивная биномиальная вероятность?
Кумулятивная биномиальная вероятность \(P(X \le k)\) показывает шанс получить не более k успехов в n независимых испытаниях, где у каждого испытания одинаковая вероятность успеха p. Она складывает отдельные биномиальные вероятности — от 0 успехов и вплоть до k успехов. Калькулятор универсален и подходит для любого биномиального эксперимента: подбрасывания монеты, выборочного контроля качества или тестов по принципу «прошёл / не прошёл».
Как пользоваться калькулятором
Введите три значения: число испытаний (n), пороговое число успехов (k) и вероятность успеха в одном испытании (p — число от 0 до 1). Калькулятор выдаст кумулятивную вероятность \(P(X \le k)\), а также ряд связанных величин: точную вероятность \(P(X = k)\), правосторонние вероятности \(P(X > k)\) и \(P(X \ge k)\) и среднее распределения \(n \times p\).
Разбор формулы
Каждое слагаемое использует биномиальный коэффициент \(C(n,i) = n! / (i!(n-i)!)\), который показывает, сколькими способами могут произойти i успехов, умноженный на \(p^i\) (вероятность этих успехов) и \((1-p)^{n-i}\) (вероятность оставшихся неудач). Суммируя эти слагаемые от i = 0 до k, получаем кумулятивное значение:
$$P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i}\, p^{\,i}\,\left(1-p\right)^{n-i}$$Чтобы сохранить численную устойчивость при больших n, калькулятор вычисляет каждое слагаемое из предыдущего с помощью отношения \(\frac{n-i}{i+1} \times \frac{p}{1-p}\).
Разбор примера
Допустим, вы подбрасываете честную монету 10 раз (\(n = 10\), \(p = 0{,}5\)) и хотите узнать вероятность выпадения не более 3 «орлов» (\(k = 3\)). Четыре нужных слагаемых дают
$$C(10,0)+C(10,1)+C(10,2)+C(10,3) = 1 + 10 + 45 + 120 = 176$$и каждое умножается на \(0{,}5^{10} = 1/1024\). Значит,
$$P(X \le 3) = 176/1024 = 0{,}171875$$Частые вопросы
В чём разница между \(P(X \le k)\) и \(P(X = k)\)? \(P(X = k)\) — это вероятность ровно k успехов, а \(P(X \le k)\) суммирует все исходы от 0 до k включительно.
Как найти \(P(X \ge k)\)? Воспользуйтесь соотношением \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k) + P(X = k)\) — калькулятор показывает эту величину автоматически.
Может ли p равняться 0 или 1? Да. Если p = 0, успех невозможен, поэтому \(P(X \le k) = 1\) для любого \(k \ge 0\); если p = 1, все испытания заканчиваются успехом.
Интерпретация вашего результата
P(X ≤ k) — это кумулятивная вероятность. Она отвечает на вопрос «какова вероятность получить не более k успехов?», суммируя вероятности 0, 1, 2, …, вплоть до k успехов. Она всегда находится между 0 и 1 и никогда не убывает при увеличении k.
P(X = k) — это единственная точка. Это вероятность ровно k успехов — один член в кумулятивной сумме. Поэтому \(P(X\le k)\) всегда по крайней мере такая же большая, как \(P(X=k)\), и \(P(X\le k)-P(X\le k-1)=P(X=k)\).
Два хвоста. Правый хвост \(P(X>k)=1-P(X\le k)\) — это вероятность более k успехов, а \(P(X\ge k)=P(X>k)+P(X=k)\) включает само значение k. Поскольку переменная — это целое число успехов, \(P(X\ge k)=P(X\le k-1)\), и его дополнение — частая точка путаницы: всегда проверяйте, должно ли пороговое значение k быть включено или исключено.
Среднее значение. Ожидаемое число успехов — это \(\mu = n\cdot p\). Для n = 20 испытаний с p = 0,05 это \(\mu = 1\) дефектный в среднем; для n = 10 с p = 0,9 это \(\mu = 9\). Сравнение вашего k со средним значением показывает, является ли это вероятным результатом (k близко к \(n\cdot p\)) или событием на хвосте (k далеко от него).
Чтение числа типа 0,17. Результат \(P(X\le k)=0,17\) означает, что существует 17% вероятность получить не более k успехов — и, следовательно, 83% вероятность получить более k. Умножьте на 100, чтобы прочитать как процент.
Когда правый хвост имеет значение. Вероятности правого хвоста являются центральными для пороговых значений решений и проверки гипотез. Если вы наблюдаете k успехов и хотите узнать, насколько это неожиданно при предположенном p, значение верхнего хвоста \(P(X\ge k)\) действует как одностороннее p-значение: малое значение (обычно ниже 0,05) предполагает, что результат маловероятен в силу одной только случайности. Так планы приемочного контроля устанавливают максимально допустимое число дефектов, а A/B тесты помечают необычно высокие количества успехов.
Определения и глоссарий
- n — число испытаний. Фиксированное число независимых повторений эксперимента (например, 20 проверяемых предметов, 10 бросаний монеты).
- k — порог успехов. Число интересующих нас успехов. В \(P(X\le k)\) это наибольшее число успехов, включаемое в кумулятивную сумму; \(k\) — целое число от 0 до n.
- p — вероятность успеха. Вероятность «успеха» в одном испытании, одинаковая для каждого испытания, с \(0\le p\le 1\).
- Успех и неудача. Два взаимно исключающихся результата каждого испытания. «Успех» — это просто результат, который вы считаете; его дополнение, «неудача», имеет вероятность \(1-p\).
- Биномиальный коэффициент C(n, i). Записывается как \(\binom{n}{i}=\dfrac{n!}{i!\,(n-i)!}\), он подсчитывает число различных способов расположить i успехов среди n испытаний.
- Кумулятивная вероятность. \(P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}\), общая вероятность k или менее успехов.
- Вероятность хвоста. Вероятность в одном конце распределения: правый (верхний) хвост \(P(X>k)=1-P(X\le k)\) или включающий верхний хвост \(P(X\ge k)\). Используется для пороговых значений и p-значений.
- Среднее значение (ожидаемое значение). \(\mu = n\cdot p\), долгосрочное среднее число успехов на n испытаний.
