Что делает этот калькулятор
Этот инструмент решает обратную задачу по сравнению с обычным калькулятором вероятностей Пуассона. Вы не задаёте известное среднее \(\lambda\), чтобы получить вероятность, а наоборот — отталкиваетесь от уже известной кумулятивной вероятности и точки x, а калькулятор подбирает то значение среднего \(\lambda\), которое её даёт. Такой подход удобен при планировании пропускной способности, расчётах надёжности и в теории очередей, когда вам известен целевой уровень сервиса (вероятность) и нужно определить ожидаемую интенсивность событий, которая за ним стоит.
Как пользоваться
Сначала выберите режим кумулятивной вероятности. Нижняя кумулятивная P означает, что введённое значение — это P(X ≤ x), то есть вероятность того, что произойдёт x событий или меньше. Верхняя кумулятивная Q соответствует Q(X ≥ x) — вероятности того, что событий будет x или больше. Введите кумулятивную вероятность (строго в интервале от 0 до 1) и неотрицательное целое число x, после чего вы получите искомое среднее \(\lambda\).
Разбор формулы
Функция вероятности Пуассона имеет вид \(f(t, \lambda) = e^{-\lambda} \cdot \lambda^{t} / t!\). Нижняя кумулятивная вероятность — это сумма от \(t = 0\) до x:
$$\sum_{k=0}^{\text{x}} \frac{\lambda^{k}\,e^{-\lambda}}{k!} = \text{P}$$и она убывает с ростом \(\lambda\). Верхняя кумулятивная \(Q(x, \lambda) = 1 - P(x-1, \lambda)\) при \(x \ge 1\), наоборот, возрастает с увеличением \(\lambda\):
$$1 - \sum_{k=0}^{\text{x}-1} \frac{\lambda^{k}\,e^{-\lambda}}{k!} = \text{P}$$Поскольку каждая из этих функций строго монотонна по \(\lambda\), решение единственно. Калькулятор находит его методом деления отрезка пополам (бисекции), а слагаемые вычисляются устойчивым итеративным умножением — без переполнения при расчёте факториала.
Пример расчёта
Нижний режим, \(P = 0{,}6\), \(x = 5\). Нам нужно найти такое \(\lambda\), при котором сумма первых шести членов ряда Пуассона равна 0,6. При \(\lambda = 5{,}0\) получаем \(P \approx 0{,}616\) (слишком много), при \(\lambda = 5{,}1\) — около 0,597, а при \(\lambda = 5{,}08\) — примерно 0,600. Значит, искомое \(\lambda\) составляет около 5,083 ожидаемого события.
Частые вопросы
Почему вероятность должна быть строго между 0 и 1? Вероятность ровно 0 или 1 «выталкивает» \(\lambda\) к границе (0 или бесконечности), поэтому конечного единственного среднего просто не существует.
Что происходит в верхнем режиме при x = 0? \(Q(0, \lambda)\) равно 1 для любого \(\lambda\), поэтому среднее не определено; в этом вырожденном случае калькулятор возвращает 0.
Обязательно ли x должно быть целым? Да. В стандартной интерпретации Пуассона x — это неотрицательное целое число событий; дробные значения округляются в меньшую сторону.
