Qué hace esta calculadora
Esta herramienta es la inversa de la típica calculadora de probabilidad de Poisson. En lugar de partir de una media lambda conocida para calcular una probabilidad, partes de una probabilidad acumulada conocida y de un punto x, y la herramienta despeja la media lambda de Poisson que la genera. Resulta muy útil en la planificación de capacidad, en estudios de fiabilidad y en teoría de colas, cuando conoces un nivel de servicio objetivo (una probabilidad) y necesitas averiguar la tasa esperada de eventos que lo sustenta.
Cómo usarla
Elige un modo acumulado. El acumulado inferior P significa que la probabilidad que introduces es P(X ≤ x), es decir, la probabilidad de que ocurran x eventos o menos. El acumulado superior Q significa que es Q(X ≥ x), la probabilidad de que ocurran x eventos o más. Introduce la probabilidad acumulada (un valor estrictamente entre 0 y 1) y el conteo entero no negativo x; a continuación obtendrás la media lambda.
La fórmula explicada
La función de masa de Poisson es \( f(t, \lambda) = e^{-\lambda} \lambda^{t} / t! \). El acumulado inferior es la suma desde \( t = 0 \) hasta \( x \) y disminuye a medida que crece \( \lambda \). El acumulado superior \( Q(x, \lambda) = 1 - P(x-1, \lambda) \) aumenta con \( \lambda \) cuando \( x \ge 1 \). Como cada acumulado es estrictamente monótono respecto a \( \lambda \), existe una única solución, que la calculadora encuentra mediante un robusto método de bisección, evaluado con una multiplicación iterativa estable de los términos (sin desbordamiento por factoriales).
$$ \text{Resolver para }\lambda:\quad \sum_{k=0}^{\text{x}} \frac{\lambda^{k}\,e^{-\lambda}}{k!} = \text{P} $$
$$ \text{Resolver para }\lambda:\quad 1 - \sum_{k=0}^{\text{x}-1} \frac{\lambda^{k}\,e^{-\lambda}}{k!} = \text{P} $$
Ejemplo resuelto
Modo inferior, \( P = 0{,}6 \), \( x = 5 \). Resolvemos la suma de los seis primeros términos de Poisson igualada a 0,6. Al probar \( \lambda = 5{,}0 \) obtenemos \( P \approx 0{,}616 \) (demasiado alta); con \( \lambda = 5{,}1 \) sale alrededor de 0,597, y con \( \lambda = 5{,}08 \) sale unos 0,600. Por tanto, \( \lambda \) es de aproximadamente 5,083 eventos esperados.
Preguntas frecuentes
¿Por qué la probabilidad debe estar estrictamente entre 0 y 1? Una probabilidad de exactamente 0 o 1 lleva a lambda hacia un límite (0 o infinito), de modo que no existe una media finita única.
¿Qué ocurre en el modo superior con x = 0? \( Q(0, \lambda) \) siempre vale 1 para cualquier \( \lambda \), así que la media queda indefinida; en este caso degenerado la herramienta devuelve 0.
¿x tiene que ser un número entero? Sí. En la interpretación estándar de Poisson, x es un conteo entero no negativo; los valores no enteros se truncan.
