Что такое выборочная дисперсия?
Выборочная дисперсия (\(s^2\)) показывает, насколько сильно значения в наборе данных разбросаны вокруг своего среднего. Это среднее квадратов отклонений от среднего, но в знаменателе стоит n − 1, а не n. Деление на n − 1 (поправка Бесселя) делает оценку несмещённой, то есть позволяет точнее оценить истинную дисперсию всей совокупности, когда в распоряжении есть лишь выборка данных.
Как пользоваться калькулятором
Введите числа через запятую или пробел — например, 4, 8, 15, 16, 23, 42. Калькулятор выдаст выборочную дисперсию, выборочное стандартное отклонение, среднее значение, количество элементов и сумму квадратов отклонений, чтобы вы могли проверить каждый шаг расчёта.
Разбор формулы
Сначала находим среднее: $$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$$ Затем из каждого значения вычитаем среднее и возводим разность в квадрат. Складываем все квадраты отклонений и получаем \(\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right)^{2}\). Наконец, делим эту сумму на n − 1 — это и есть выборочная дисперсия. Извлекая квадратный корень, получаем выборочное стандартное отклонение \(s\).
$$s^{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right)^{2}$$
Пример расчёта
Возьмём набор 4, 8, 15, 16, 23, 42: сумма равна 108, а \(n = 6\), поэтому среднее равно 18. Квадраты отклонений составляют 196, 100, 9, 4, 25 и 576, что в сумме даёт 910. При среднем = 18 получаем $$\sum = 196 + 100 + 9 + 4 + 25 + 576 = 910$$ а дисперсия $$= \frac{910}{5} = 182$$ Всегда перепроверяйте значение среднего, прежде чем делить, — от него зависит весь дальнейший результат.
Частые вопросы
Почему делим на n − 1, а не на n? Деление на n занижает разброс совокупности; деление на n − 1 устраняет это смещение.
Когда лучше считать дисперсию генеральной совокупности? Дисперсию совокупности (деление на n) применяют только тогда, когда данные охватывают всех её представителей, а не только выборку.
Что означает большая дисперсия? Чем больше дисперсия, тем сильнее значения разбросаны относительно среднего.
