Что такое дисперсия генеральной совокупности?
Дисперсия генеральной совокупности (\(\sigma^2\)) показывает, насколько сильно значения полного набора данных разбросаны вокруг своего среднего. В отличие от выборочной дисперсии, здесь сумма квадратов отклонений делится на \(N\) — общее количество значений, а не на \(N-1\). Используйте дисперсию генеральной совокупности, когда ваши данные охватывают всю совокупность целиком, а не отдельную выборку из неё.
Как пользоваться калькулятором
Введите значения данных в поле, разделяя их запятыми или пробелами (например: 4, 8, 6, 5, 3, 8). Калькулятор находит среднее, вычитает его из каждого значения, возводит полученные отклонения в квадрат, суммирует их и делит на количество значений. В результате вы сразу получаете дисперсию, среднее, сумму квадратов отклонений и стандартное отклонение генеральной совокупности.
Разбор формулы
Формула дисперсии генеральной совокупности выглядит так: $$\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \mu\right)^2$$ Здесь \(\mu\) — среднее по совокупности, \(x_i\) — каждое отдельное значение, \(N\) — количество значений, а \(\Sigma\) означает «сумму». Отклонение каждого значения от среднего возводится в квадрат, чтобы отрицательные и положительные отклонения не взаимно уничтожались. Стандартное отклонение \(\sigma\) — это просто квадратный корень из дисперсии.
Разбор на примере
Возьмём набор данных 4, 8, 6, 5, 3, 8. Среднее равно \((4+8+6+5+3+8) \div 6 = 34 \div 6 \approx 5{,}6667\). Квадраты отклонений: \((4-5{,}6667)^2=2{,}7778\), \((8-5{,}6667)^2=5{,}4444\), \((6-5{,}6667)^2=0{,}1111\), \((5-5{,}6667)^2=0{,}4444\), \((3-5{,}6667)^2=7{,}1111\), \((8-5{,}6667)^2=5{,}4444\). Их сумма составляет \(21{,}3333\). Разделив на \(N=6\), получаем \(\sigma^2 \approx 3{,}5556\), а \(\sigma \approx 1{,}8856\).
Частые вопросы
Дисперсия совокупности или выборки — что выбрать? Используйте дисперсию генеральной совокупности (\(\div N\)), когда ваши числа представляют всю совокупность. Применяйте выборочную дисперсию (\(\div N-1\)), когда это выборка, по которой оценивается более крупная совокупность.
Может ли дисперсия быть отрицательной? Нет. Поскольку отклонения возводятся в квадрат, дисперсия всегда равна нулю или положительна. Она равна нулю только тогда, когда все значения одинаковы.
В каких единицах измеряется дисперсия? Дисперсия выражается в квадрате единиц исходных данных. Чтобы вернуться к исходным единицам, извлеките квадратный корень и получите стандартное отклонение.
