ما هو تباين المجتمع؟
يقيس تباين المجتمع (\(\sigma^2\)) مدى تشتّت قيم مجموعة بيانات كاملة حول متوسطها. وعلى عكس تباين العينة، فإنه يقسم مجموع مربعات الانحرافات على \(N\) — أي العدد الكلي للقيم — بدلًا من \(N-1\). استخدم تباين المجتمع عندما تمثّل بياناتك المجتمع بأكمله، وليس مجرد عينة مأخوذة منه.
كيفية استخدام الحاسبة
اكتب قيم بياناتك داخل المربع، مفصولة بفواصل أو مسافات (مثال: 4, 8, 6, 5, 3, 8). تقوم الحاسبة بإيجاد المتوسط، ثم طرحه من كل قيمة، وتربيع تلك الانحرافات، وجمعها، ثم القسمة على عدد القيم. وستحصل فورًا على التباين والمتوسط ومجموع مربعات الانحرافات والانحراف المعياري للمجتمع.
شرح المعادلة
معادلة تباين المجتمع هي
$$\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\left(x_i - \mu\right)^2$$هنا \(\mu\) هو متوسط المجتمع، و\(x_i\) هو كل قيمة على حدة، و\(N\) هو عدد القيم، و\(\sum\) تعني "مجموع". يُربَّع بُعد كل قيمة عن المتوسط حتى لا تلغي الانحرافات السالبة والموجبة بعضها بعضًا. أما الانحراف المعياري للمجتمع \(\sigma\) فهو ببساطة الجذر التربيعي للتباين.
مثال محلول
لنأخذ مجموعة البيانات 4، 8، 6، 5، 3، 8. المتوسط هو
$$\mu = \frac{4+8+6+5+3+8}{6} = \frac{34}{6} \approx 5.6667$$مربعات الانحرافات:
$$\begin{aligned}(4-5.6667)^2 &= 2.7778 \\ (8-5.6667)^2 &= 5.4444 \\ (6-5.6667)^2 &= 0.1111 \\ (5-5.6667)^2 &= 0.4444 \\ (3-5.6667)^2 &= 7.1111 \\ (8-5.6667)^2 &= 5.4444\end{aligned}$$ومجموعها \(21.3333\). نقسم على \(N=6\) لنحصل على \(\sigma^2 \approx 3.5556\)، و\(\sigma \approx 1.8856\).
الأسئلة الشائعة
تباين المجتمع أم تباين العينة — أيهما أحتاج؟ استخدم تباين المجتمع (\(\div N\)) عندما تكون أرقامك هي المجتمع كاملًا. واستخدم تباين العينة (\(\div N-1\)) عندما تكون عينة تُستعمل لتقدير مجتمع أكبر.
هل يمكن أن يكون التباين سالبًا؟ لا. لأن الانحرافات تُربَّع، يكون التباين دائمًا صفرًا أو موجبًا. ولا يساوي صفرًا إلا عندما تكون جميع القيم متطابقة.
ما هي وحدة التباين؟ التباين يكون بوحدات مربّعة للبيانات. وللعودة إلى الوحدات الأصلية، خذ الجذر التربيعي لتحصل على الانحراف المعياري.
