¿Qué es la varianza poblacional?
La varianza poblacional (\(\sigma^2\)) mide cuánto se dispersan los valores de un conjunto de datos completo respecto a su media. A diferencia de la varianza muestral, divide la suma de los cuadrados de las desviaciones entre N —el número total de valores— en lugar de entre N−1. Utiliza la varianza poblacional cuando tus datos representan toda la población y no solo una muestra extraída de ella.
Cómo usar esta calculadora
Escribe tus valores en el cuadro, separados por comas o espacios (por ejemplo: 4, 8, 6, 5, 3, 8). La calculadora obtiene la media, la resta a cada valor, eleva al cuadrado esas desviaciones, las suma y divide entre el número de valores. Al instante tendrás la varianza, la media, la suma de los cuadrados de las desviaciones y la desviación típica poblacional.
La fórmula explicada
La fórmula de la varianza poblacional es
$$\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \mu\right)^2 \qquad \mu = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$$Aquí \(\mu\) es la media poblacional, \(x_i\) es cada valor individual, N es la cantidad de valores y \(\sum\) significa «suma de». La distancia de cada valor respecto a la media se eleva al cuadrado para que las desviaciones negativas y positivas no se anulen entre sí. La desviación típica poblacional \(\sigma\) es, simplemente, la raíz cuadrada de la varianza.
Ejemplo resuelto
Tomemos el conjunto de datos 4, 8, 6, 5, 3, 8. La media es
$$\mu = \frac{4+8+6+5+3+8}{6} = \frac{34}{6} \approx 5{,}6667$$Cuadrados de las desviaciones: \((4-5{,}6667)^2 = 2{,}7778\), \((8-5{,}6667)^2 = 5{,}4444\), \((6-5{,}6667)^2 = 0{,}1111\), \((5-5{,}6667)^2 = 0{,}4444\), \((3-5{,}6667)^2 = 7{,}1111\), \((8-5{,}6667)^2 = 5{,}4444\). Su suma es \(21{,}3333\). Al dividir entre \(N=6\) obtenemos
$$\sigma^2 \approx 3{,}5556 \qquad \sigma \approx 1{,}8856$$Preguntas frecuentes
Varianza poblacional o muestral, ¿cuál necesito? Usa la varianza poblacional (÷N) cuando tus números son toda la población. Usa la varianza muestral (÷N−1) cuando son una muestra con la que quieres estimar una población mayor.
¿La varianza puede ser negativa? No. Como las desviaciones se elevan al cuadrado, la varianza siempre es cero o positiva. Solo vale cero cuando todos los valores son idénticos.
¿En qué unidades se expresa la varianza? La varianza se expresa en las unidades de los datos al cuadrado. Para volver a las unidades originales, calcula su raíz cuadrada y obtendrás la desviación típica.
