二項定理展開計算ツール — (a+b)ⁿ の値を計算

項の数	4
項の構造	C(3,0)·a^3 + C(3,1)·a^2·b + C(3,2)·a·b^2 + C(3,3)·b^3

二項展開計算ツールとは？

このツールは二項定理を使って、$(a + b)^n$（n は 0 以上の整数）の形をした式を展開し、その値を計算します。式全体の数値、展開後の項の数、そして各項の記号的な構造を表示します。地域や国に依存しない、世界共通で使える数学ツールです。

使い方

第1項 a、第2項 b、指数 n（0〜20）を入力します。a と b には正の数・負の数・分数のいずれも指定できます。「計算する」を押すと結果が表示されます。値は二項係数を使って項ごとに計算されるため、表示された項の構造を見ながら、途中の計算を手作業で確かめることもできます。

公式の解説

二項定理によると、$(a + b)^n$ は k = 0 から n までの $C(n,k)\cdot a^{n-k}\cdot b^k$ の総和に等しくなります。$$\left(a + b\right)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{\,n-k}\, b^{\,k}$$ 係数 $C(n,k) = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ は、n 個から k 個を選ぶ組み合わせの数を表し、これらの係数はパスカルの三角形の各行を構成します。項は常に n + 1 個あり、a の指数は n から 0 へと減少し、b の指数は 0 から n へと増加していきます。

三角形を形作る数字の行で構成されたパスカルの三角形 — パスカルの三角形：各行が指数nに対応する二項係数を与える。

二項展開の1つの項を注釈付きで示した図。二項係数、aのべき乗、bのべき乗を表示 — 一般項の構成：二項係数 × a^(n−k) × b^k。

計算例

$(1 + 2)^3$ の場合、各項は $C(3,0)\cdot 1^3\cdot 2^0 = 1$、$C(3,1)\cdot 1^2\cdot 2^1 = 6$、$C(3,2)\cdot 1^1\cdot 2^2 = 12$、$C(3,3)\cdot 1^0\cdot 2^3 = 8$ となります。これらを合計すると $$1 + 6 + 12 + 8 = 27$$ となり、$3^3 = 27$ と一致するので、展開が正しいことが確認できます。

パスカルの三角形：指数による二項係数

パスカルの三角形の各行 $n$ には、二項係数 $\binom{n}{k}$（$k = 0, 1, 2, \dots, n$ の場合）がリストされています。これらは、$(a+b)^n$ の展開に現れる数値係数そのものです。行をまたいで読むと、各項の係数が得られます。左側の $a^n b^0$ から始まり、右側の $a^0 b^n$ で終わります。

$n$	二項係数 $\binom{n}{0},\,\binom{n}{1},\,\dots,\,\binom{n}{n}$	行の合 $2^n$
0	1	1
1	1, 1	2
2	1, 2, 1	4
3	1, 3, 3, 1	8
4	1, 4, 6, 4, 1	16
5	1, 5, 10, 10, 5, 1	32
6	1, 6, 15, 20, 15, 6, 1	64
7	1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1	128
8	1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1	256
9	1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1	512
10	1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1	1024

各エントリは、その直上の2つのエントリの合に等しくなります（例えば、第6行の中央は $10 + 10 = 20$ です）。第6行の中央の係数は、$\binom{6}{3} = $ 20 として直接計算することもできます。行の合計 $\sum_{k} \binom{n}{k} = 2^n$ は、$(a+b)^n$ の展開が $n+1$ 項を持つことを確認しています。

さらに詳しい計算例

各展開は $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\,a^{\,n-k}\,b^{\,k}$ を使用し、係数をパスカルの三角形の対応する行から直接引き出します。

例1：$(x-2)^4$ — 符号の交互性

ここで $a = x$、$b = -2$、$n = 4$ です。パスカルの三角形の第4行は $1, 4, 6, 4, 1$ です。$b$ が負であるため、$-2$ の累乗により符号が交互に現れます。

$\binom{4}{0}x^4(-2)^0 = 1\cdot x^4 \cdot 1 = x^4$
$\binom{4}{1}x^3(-2)^1 = 4\cdot x^3 \cdot(-2) = -8x^3$
$\binom{4}{2}x^2(-2)^2 = 6\cdot x^2 \cdot 4 = 24x^2$
$\binom{4}{3}x^1(-2)^3 = 4\cdot x \cdot(-8) = -32x$
$\binom{4}{4}x^0(-2)^4 = 1\cdot 1 \cdot 16 = 16$

合わせると：$(x-2)^4 = x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16$。

例2：$(2+3)^5$ — 完全に数値

ここで $a = 2$、$b = 3$、$n = 5$ であり、第5行は $1, 5, 10, 10, 5, 1$ です。

$\binom{5}{0}2^5 3^0 = 1\cdot 32\cdot 1 = 32$
$\binom{5}{1}2^4 3^1 = 5\cdot 16\cdot 3 = 240$
$\binom{5}{2}2^3 3^2 = 10\cdot 8\cdot 9 = 720$
$\binom{5}{3}2^2 3^3 = 10\cdot 4\cdot 27 = 1080$
$\binom{5}{4}2^1 3^4 = 5\cdot 2\cdot 81 = 810$
$\binom{5}{5}2^0 3^5 = 1\cdot 1\cdot 243 = 243$

項を合計すると：$32 + 240 + 720 + 1080 + 810 + 243 = $ 3125。確認として、$(2+3)^5 = 5^5 = 3125$。

例3：$\left(1+\tfrac{1}{2}\right)^3$ — 分数の底

ここで $a = 1$、$b = \tfrac{1}{2}$、$n = 3$ であり、第3行は $1, 3, 3, 1$ に等しくなります。

$\binom{3}{0}1^3\left(\tfrac{1}{2}\right)^0 = 1\cdot 1\cdot 1 = 1$
$\binom{3}{1}1^2\left(\tfrac{1}{2}\right)^1 = 3\cdot 1\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}$
$\binom{3}{2}1^1\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = 3\cdot 1\cdot\tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}$
$\binom{3}{3}1^0\left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = 1\cdot 1\cdot\tfrac{1}{8} = \tfrac{1}{8}$

項を加えると：$1 + \tfrac{3}{2} + \tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{8} = \tfrac{8+12+6+1}{8} = \tfrac{27}{8} = $ 3.375。これは $\left(\tfrac{3}{2}\right)^3 = \tfrac{27}{8}$ と一致しています。

重要な用語と定義

二項係数 $\binom{n}{k}$: 展開の各項に乗じられる数。「n個からk個を選ぶ」と読みます。$n$ 個のうちから $k$ 個の項目を選ぶ方法の数を数えるもので、$\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ として計算されます。例えば、$\binom{5}{2} = $ 10。
指数 $n$: 二項式 $(a+b)$ が引き上げられる整数乗。最高乗を設定し、展開が正確に $n+1$ 項を持つことを決定します。
項: 展開結果の加法的な部分の1つ。形式は $\binom{n}{k}\,a^{\,n-k}\,b^{\,k}$。単一項における $a$ と $b$ の指数は常に $n$ に加算されます。
基本項 $a$ と $b$: 括弧の中で加算されている2つの量。数値、変数、分数、または負の値である場合があります。例えば $(x-2)^4$ では、$a = x$ で $b = -2$ です。
階乗 $n!$: $n$ までのすべての正の整数の積：$n! = n\times(n-1)\times\cdots\times 2\times 1$。定義により $0! = 1$。例えば、$5! = $ 120。階乗は、すべての二項係数の公式の基礎となります。
パスカルの三角形: 第 $n$ 行に係数 $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}$ がリストされている三角形配列。各内部エントリは、その上の2つのエントリの合です。階乗を計算することなく、二項係数を読み取る迅速な方法を提供します。