Binom Açılımı Hesaplama Aracı

Terim sayısı	4
Terim yapısı	C(3,0)·a^3 + C(3,1)·a^2·b + C(3,2)·a·b^2 + C(3,3)·b^3

Binom Açılımı Hesaplama Aracı nedir?

Bu araç, binom teoremini kullanarak $(a + b)^{n}$ biçimindeki herhangi bir ifadeyi açar ve hesaplar; burada n, negatif olmayan bir tam sayıdır. Sonuç olarak ifadenin tamamının sayısal değerini, açılımdaki terim sayısını ve her terimin sembolik yapısını verir. Bölgesel hiçbir kısıtlaması olmayan, evrensel bir matematik aracıdır.

Nasıl kullanılır?

Birinci terim a, ikinci terim b ve üs n (0 ile 20 arası) değerlerini girin. Hem a hem de b pozitif, negatif veya kesirli olabilir. Sonucu görmek için hesapla butonuna basın. Değer, binom katsayıları kullanılarak terim terim hesaplandığından, ekranda görünen terim yapısını temel alarak ara sonuçları elle de doğrulayabilirsiniz.

Formülün açıklaması

Binom teoremine göre

$$\left(a + b\right)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{\,n-k}\, b^{\,k}$$

$C(n,k) = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ katsayısı, n nesne arasından k tanesinin kaç farklı şekilde seçilebileceğini gösterir ve bu katsayılar Pascal üçgeninin satırlarını oluşturur. Açılımda her zaman $n + 1$ terim bulunur; a'nın üsleri n'den 0'a azalırken b'nin üsleri 0'dan n'e artar.

Reklam

Üçgen oluşturan sayı satırlarından oluşan Pascal üçgeni — Pascal üçgeni: her satır, o n üssü için binom katsayılarını verir.

Binom açılımındaki bir terimi gösteren açıklamalı şema: binom katsayısı, a'nın kuvveti ve b'nin kuvveti — Genel bir terimin yapısı: binom katsayısı çarpı a^(n−k) çarpı b^k.

Çözümlü örnek

$(1 + 2)^{3}$ için terimler şunlardır: $\binom{3}{0}\cdot 1^{3}\cdot 2^{0} = 1$, $\binom{3}{1}\cdot 1^{2}\cdot 2^{1} = 6$, $\binom{3}{2}\cdot 1^{1}\cdot 2^{2} = 12$ ve $\binom{3}{3}\cdot 1^{0}\cdot 2^{3} = 8$. Bunları toplarsak

$$1 + 6 + 12 + 8 = 27$$

elde ederiz; bu da $3^{3} = 27$ ile aynıdır ve açılımı doğrular.

Pascal Üçgeni: Üslü Binom Katsayıları

Pascal üçgeninin her satırı $n$, binom katsayılarını $\binom{n}{k}$ listeler; $k = 0, 1, 2, \dots, n$ olmak üzere. Bunlar tam olarak $(a+b)^n$ açılımında görünen sayısal katsayılardır. Bir satırı soldan sağa okuyarak her terimin katsayısını elde edin; sol tarafta $a^n b^0$ ile başlayıp sağ tarafta $a^0 b^n$ ile sonlanır.

$n$	Binom katsayıları $\binom{n}{0},\,\binom{n}{1},\,\dots,\,\binom{n}{n}$	Satır toplamı $2^n$
0	1	1
1	1, 1	2
2	1, 2, 1	4
3	1, 3, 3, 1	8
4	1, 4, 6, 4, 1	16
5	1, 5, 10, 10, 5, 1	32
6	1, 6, 15, 20, 15, 6, 1	64
7	1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1	128
8	1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1	256
9	1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1	512
10	1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1	1024

Her giriş, doğrudan üstündeki iki girişin toplamına eşittir (örneğin, satır 6'nın ortası $10 + 10 = 20$'dir). Satır 6'nın orta katsayısı ayrıca doğrudan $\binom{6}{3} = $ 20 olarak hesaplanabilir ve satır toplamı $\sum_{k} \binom{n}{k} = 2^n$, $(a+b)^n$ açılımının $n+1$ terime sahip olduğunu doğrular.

Daha Fazla Çalışılmış Örnek

Her açılım $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\,a^{\,n-k}\,b^{\,k}$ kullanır ve katsayılarını doğrudan Pascal üçgeninin eşleştirilen satırından alır.

Örnek 1: $(x-2)^4$ — değişen işaretler

Burada $a = x$, $b = -2$, $n = 4$. Pascal üçgeninin satır 4'ü $1, 4, 6, 4, 1$ olarak yazılır. $b$ negatif olduğu için, $-2$'nin kuvvetleri işaretleri değiştirir:

$\binom{4}{0}x^4(-2)^0 = 1\cdot x^4 \cdot 1 = x^4$
$\binom{4}{1}x^3(-2)^1 = 4\cdot x^3 \cdot(-2) = -8x^3$
$\binom{4}{2}x^2(-2)^2 = 6\cdot x^2 \cdot 4 = 24x^2$
$\binom{4}{3}x^1(-2)^3 = 4\cdot x \cdot(-8) = -32x$
$\binom{4}{4}x^0(-2)^4 = 1\cdot 1 \cdot 16 = 16$

Birleştirirsek: $(x-2)^4 = x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16$.

Örnek 2: $(2+3)^5$ — tamamen sayısal

Burada $a = 2$, $b = 3$, $n = 5$ ve satır 5 $1, 5, 10, 10, 5, 1$ olarak yazılır:

$\binom{5}{0}2^5 3^0 = 1\cdot 32\cdot 1 = 32$
$\binom{5}{1}2^4 3^1 = 5\cdot 16\cdot 3 = 240$
$\binom{5}{2}2^3 3^2 = 10\cdot 8\cdot 9 = 720$
$\binom{5}{3}2^2 3^3 = 10\cdot 4\cdot 27 = 1080$
$\binom{5}{4}2^1 3^4 = 5\cdot 2\cdot 81 = 810$
$\binom{5}{5}2^0 3^5 = 1\cdot 1\cdot 243 = 243$

Terimleri toplayırsak: $32 + 240 + 720 + 1080 + 810 + 243 = $ 3125. Kontrol olarak, $(2+3)^5 = 5^5 = 3125$.

Örnek 3: $\left(1+\tfrac{1}{2}\right)^3$ — kesirli taban

Burada $a = 1$, $b = \tfrac{1}{2}$, $n = 3$ ve satır 3 $1, 3, 3, 1$ eşittir:

$\binom{3}{0}1^3\left(\tfrac{1}{2}\right)^0 = 1\cdot 1\cdot 1 = 1$
$\binom{3}{1}1^2\left(\tfrac{1}{2}\right)^1 = 3\cdot 1\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}$
$\binom{3}{2}1^1\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = 3\cdot 1\cdot\tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}$
$\binom{3}{3}1^0\left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = 1\cdot 1\cdot\tfrac{1}{8} = \tfrac{1}{8}$

Terimleri toplayırsak: $1 + \tfrac{3}{2} + \tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{8} = \tfrac{8+12+6+1}{8} = \tfrac{27}{8} = $ 3.375. Bu $\left(\tfrac{3}{2}\right)^3 = \tfrac{27}{8}$ ile eşleşir.

Reklam

Anahtar Terimler ve Tanımlar

Binom katsayısı $\binom{n}{k}$: Açılımın her terimini çarpan sayı; "n seç k" olarak okunur. $n$ arasından $k$ öğe seçmenin kaç yolunun olduğunu sayar ve $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ olarak hesaplanır. Örneğin, $\binom{5}{2} = $ 10.
Üs $n$: Binom $(a+b)$ için yükseltilen tam sayı kuvveti. En yüksek kuvveti belirler ve açılımın tam olarak $n+1$ terime sahip olduğunu sağlar.
Terim: Genişletilmiş sonucun bir eklemeli parçası; $\binom{n}{k}\,a^{\,n-k}\,b^{\,k}$ şeklindedir. Tek bir terim içinde $a$ ve $b$ üsleri her zaman $n$'e toplanır.
Taban terimler $a$ ve $b$: Parantez içinde eklenen iki miktar. Sayılar, değişkenler, kesirler veya negatif değerler olabilir; örneğin $(x-2)^4$ içinde $a = x$ ve $b = -2$.
Faktöriyel $n!$: $n$'ye kadar tüm pozitif tam sayıların çarpımı: $n! = n\times(n-1)\times\cdots\times 2\times 1$ ve tanım gereği $0! = 1$. Örneğin, $5! = $ 120. Faktöriyellar her binom katsayısının formülünün temelini oluşturur.
Pascal üçgeni: Satır $n$ içinde katsayıları $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}$ listeleyen üçgensel bir dizi. Her iç giriş, üstündeki iki girişin toplamıdır; bu da faktöriyel hesaplamadan binom katsayılarını okumak için hızlı bir yol sağlar.

Sıkça sorulan sorular

n kesirli ya da negatif olabilir mi? Bu araç yalnızca negatif olmayan tam sayı üsleri işler; bunlar da $n + 1$ terimden oluşan sonlu bir açılım verir.

a ve b negatif olabilir mi? Evet. Örneğin $(a - b)^{n}$ ifadesi, a pozitif ve b negatif girilerek elde edilir ve işaretleri sırayla değişen terimler ortaya çıkar.

En büyük üs kaçtır? Sonuçların sayısal olarak kararlı ve okunaklı kalması için n en fazla 20 olabilir.