이항 전개 계산기란?
이 계산기는 이항정리를 적용해 \((a + b)^n\) 형태의 식을 전개하고 그 값을 계산합니다. 여기서 n은 0 이상의 정수입니다. 식 전체의 수치 값, 전개식에 포함된 항의 개수, 그리고 각 항의 기호적 구조를 함께 보여줍니다. 특정 국가나 지역의 제약 없이 어디서나 똑같이 쓸 수 있는 보편적인 수학 도구입니다.
사용 방법
첫째 항 a, 둘째 항 b, 그리고 지수 n(0부터 20까지)을 입력하세요. a와 b는 양수, 음수, 분수 모두 가능합니다. 계산 버튼을 누르면 결과가 나타납니다. 값은 이항계수를 이용해 항 하나하나를 차례대로 계산하므로, 화면에 표시된 항 구조와 비교하며 손으로 중간 결과를 직접 검산해 볼 수 있습니다.
공식 풀이
이항정리에 따르면 \((a + b)^n\)은 k = 0부터 n까지 \(\binom{n}{k}\, a^{n-k}\, b^k\)를 모두 더한 값과 같습니다.
$$\left(a + b\right)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{\,n-k}\, b^{\,k}$$계수 \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)는 n개 중에서 k개를 고르는 경우의 수를 나타내며, 이 계수들이 모여 파스칼의 삼각형의 각 행을 이룹니다. 항은 항상 n + 1개가 나오고, a의 차수는 n에서 0으로 줄어드는 동시에 b의 차수는 0에서 n으로 늘어납니다.
예제로 살펴보기
\((1 + 2)^3\)을 보겠습니다. 각 항은 \(\binom{3}{0}\cdot 1^3\cdot 2^0 = 1\), \(\binom{3}{1}\cdot 1^2\cdot 2^1 = 6\), \(\binom{3}{2}\cdot 1^1\cdot 2^2 = 12\), \(\binom{3}{3}\cdot 1^0\cdot 2^3 = 8\)입니다. 이를 모두 더하면
$$1 + 6 + 12 + 8 = 27$$이 되고, 이는 \(3^3 = 27\)과 같으므로 전개가 올바름을 확인할 수 있습니다.
파스칼의 삼각형: 지수에 따른 이항 계수
파스칼의 삼각형의 각 행 \(n\)은 \(k = 0, 1, 2, \dots, n\)에 대한 이항 계수 \(\binom{n}{k}\)를 나열합니다. 이들은 \((a+b)^n\)의 전개식에서 나타나는 정확한 수치 계수입니다. 행을 가로지르며 읽으면 각 항의 계수를 얻습니다. 왼쪽의 \(a^n b^0\)부터 시작하여 오른쪽의 \(a^0 b^n\)으로 끝납니다.
| \(n\) | 이항 계수 \(\binom{n}{0},\,\binom{n}{1},\,\dots,\,\binom{n}{n}\) | 행의 합 \(2^n\) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1, 1 | 2 |
| 2 | 1, 2, 1 | 4 |
| 3 | 1, 3, 3, 1 | 8 |
| 4 | 1, 4, 6, 4, 1 | 16 |
| 5 | 1, 5, 10, 10, 5, 1 | 32 |
| 6 | 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 | 64 |
| 7 | 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 | 128 |
| 8 | 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1 | 256 |
| 9 | 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1 | 512 |
| 10 | 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1 | 1024 |
각 항목은 바로 위의 두 항목의 합과 같습니다(예를 들어, 행 6의 중앙값은 \(10 + 10 = 20\)입니다). 행 6의 중앙 계수는 \(\binom{6}{3} = \) 20으로 직접 계산할 수도 있으며, 행의 합 \(\sum_{k} \binom{n}{k} = 2^n\)은 \((a+b)^n\)의 전개식이 정확히 \(n+1\)개의 항을 가짐을 확인합니다.
더 많은 풀이 예제
각 전개식은 \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\,a^{\,n-k}\,b^{\,k}\)를 사용하고 계수를 파스칼의 삼각형의 해당하는 행에서 직접 가져옵니다.
예제 1: \((x-2)^4\) — 교대 부호
\(a = x\), \(b = -2\), \(n = 4\)입니다. 파스칼의 삼각형의 행 4는 \(1, 4, 6, 4, 1\)입니다. \(b\)가 음수이므로, \(-2\)의 거듭제곱이 부호를 교대로 바꿉니다:
- \(\binom{4}{0}x^4(-2)^0 = 1\cdot x^4 \cdot 1 = x^4\)
- \(\binom{4}{1}x^3(-2)^1 = 4\cdot x^3 \cdot(-2) = -8x^3\)
- \(\binom{4}{2}x^2(-2)^2 = 6\cdot x^2 \cdot 4 = 24x^2\)
- \(\binom{4}{3}x^1(-2)^3 = 4\cdot x \cdot(-8) = -32x\)
- \(\binom{4}{4}x^0(-2)^4 = 1\cdot 1 \cdot 16 = 16\)
결합하면: \((x-2)^4 = x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16\)입니다.
예제 2: \((2+3)^5\) — 완전히 수치적
\(a = 2\), \(b = 3\), \(n = 5\)이고, 행 5는 \(1, 5, 10, 10, 5, 1\)입니다:
- \(\binom{5}{0}2^5 3^0 = 1\cdot 32\cdot 1 = 32\)
- \(\binom{5}{1}2^4 3^1 = 5\cdot 16\cdot 3 = 240\)
- \(\binom{5}{2}2^3 3^2 = 10\cdot 8\cdot 9 = 720\)
- \(\binom{5}{3}2^2 3^3 = 10\cdot 4\cdot 27 = 1080\)
- \(\binom{5}{4}2^1 3^4 = 5\cdot 2\cdot 81 = 810\)
- \(\binom{5}{5}2^0 3^5 = 1\cdot 1\cdot 243 = 243\)
항들을 더하면: \(32 + 240 + 720 + 1080 + 810 + 243 = \) 3125입니다. 검증으로, \((2+3)^5 = 5^5 = 3125\)입니다.
예제 3: \(\left(1+\tfrac{1}{2}\right)^3\) — 분수 밑
\(a = 1\), \(b = \tfrac{1}{2}\), \(n = 3\)이고, 행 3은 \(1, 3, 3, 1\)입니다:
- \(\binom{3}{0}1^3\left(\tfrac{1}{2}\right)^0 = 1\cdot 1\cdot 1 = 1\)
- \(\binom{3}{1}1^2\left(\tfrac{1}{2}\right)^1 = 3\cdot 1\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}\)
- \(\binom{3}{2}1^1\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = 3\cdot 1\cdot\tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}\)
- \(\binom{3}{3}1^0\left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = 1\cdot 1\cdot\tfrac{1}{8} = \tfrac{1}{8}\)
항들을 더하면: \(1 + \tfrac{3}{2} + \tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{8} = \tfrac{8+12+6+1}{8} = \tfrac{27}{8} = \) 3.375입니다. 이는 \(\left(\tfrac{3}{2}\right)^3 = \tfrac{27}{8}\)과 일치합니다.
주요 용어 및 정의
- 이항 계수 \(\binom{n}{k}\)
- 전개식의 각 항에 곱해지는 수이며, "n은 k를 선택"이라고 읽습니다. \(n\)개 중에서 \(k\)개 항목을 선택하는 방법의 수를 세며, \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)로 계산됩니다. 예를 들어, \(\binom{5}{2} = \) 10입니다.
- 지수 \(n\)
- 이항식 \((a+b)\)가 거듭제곱되는 정수 거듭제곱입니다. 최고 거듭제곱을 설정하고 전개식이 정확히 \(n+1\)개의 항을 가짐을 결정합니다.
- 항
- 전개된 결과의 덧셈 부분 하나로, \(\binom{n}{k}\,a^{\,n-k}\,b^{\,k}\) 형태입니다. 단일 항의 \(a\)와 \(b\)의 지수는 항상 \(n\)에 더해집니다.
- 밑 항 \(a\)와 \(b\)
- 괄호 안에서 더해지는 두 수량입니다. 이들은 수, 변수, 분수 또는 음수일 수 있습니다. 예를 들어 \((x-2)^4\)에서 \(a = x\)이고 \(b = -2\)입니다.
- 계승 \(n!\)
- \(n\)까지의 모든 양의 정수의 곱입니다: \(n! = n\times(n-1)\times\cdots\times 2\times 1\)이며, 정의에 따라 \(0! = 1\)입니다. 예를 들어, \(5! = \) 120입니다. 계승은 모든 이항 계수의 공식의 기초가 됩니다.
- 파스칼의 삼각형
- 행 \(n\)이 계수 \(\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}\)를 나열하는 삼각형 배열입니다. 각 내부 항목은 위의 두 항목의 합이며, 계승을 계산하지 않고도 이항 계수를 빠르게 읽을 수 있는 방법을 제공합니다.
자주 묻는 질문
n을 분수나 음수로 넣을 수 있나요? 이 계산기는 0 이상의 정수 지수만 처리합니다. 이 경우 항이 n + 1개인 유한한 전개식이 나옵니다.
a와 b에 음수를 넣어도 되나요? 됩니다. 예를 들어 \((a - b)^n\)은 a를 양수로, b를 음수로 입력하면 되며, 그러면 부호가 번갈아 나타나는 전개식이 만들어집니다.
지수의 최댓값은 얼마인가요? n은 결과를 수치적으로 안정적이고 보기 쉽게 유지하기 위해 최대 20으로 제한됩니다.
