حاسبة مفكوك ذات الحدين (a+b)ⁿ — نظرية ذات الحدين

عدد الحدود	٤
بنية الحدود	C(3,0)·a^3 + C(3,1)·a^2·b + C(3,2)·a·b^2 + C(3,3)·b^3

ما هي حاسبة مفكوك ذات الحدين؟

تعتمد هذه الحاسبة على نظرية ذات الحدين لفك وتقييم أي مقدار على الصورة $(a + b)^n$، حيث n عدد صحيح غير سالب. وتعطيك القيمة العددية للمقدار كاملاً، وعدد الحدود في المفكوك، والبنية الرمزية لكل حد. وهي أداة رياضية عامة تصلح في أي مكان دون قيود إقليمية.

طريقة الاستخدام

أدخل الحد الأول a، والحد الثاني b، ثم الأس n (من 0 إلى 20). يمكن أن يكون كل من a وb موجباً أو سالباً أو كسرياً. اضغط على زر الحساب لتظهر النتيجة. وبما أن القيمة تُحسب حداً بحد باستخدام معاملات ذات الحدين، فبإمكانك التحقق من النتائج الجزئية يدوياً بمقارنتها ببنية الحدود المعروضة.

شرح القانون

تنص نظرية ذات الحدين على أن:

$$\left(a + b\right)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{\,n-k}\, b^{\,k}$$

أما المعامل $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ فيمثّل عدد طرق اختيار $k$ عنصراً من بين $n$ عنصراً، وتشكّل هذه المعاملات صفوف مثلث باسكال. وعدد الحدود دائماً $n + 1$، إذ تتناقص قوى $a$ من $n$ إلى 0 بينما تتزايد قوى $b$ من 0 إلى $n$.

اعلان

مثلث باسكال على شكل صفوف من الأرقام تشكّل مثلثًا — مثلث باسكال: كل صف يعطي المعاملات الثنائية للأس n المقابل.

مخطط موضّح لحد واحد من مفكوك ذي الحدين يبيّن المعامل الثنائي وقوة a وقوة b — بنية الحد العام: المعامل الثنائي مضروبًا في a^(n−k) مضروبًا في b^k.

مثال محلول

لنأخذ $(1 + 2)^3$: تكون الحدود $\binom{3}{0}\cdot 1^3\cdot 2^0 = 1$، و$\binom{3}{1}\cdot 1^2\cdot 2^1 = 6$، و$\binom{3}{2}\cdot 1^1\cdot 2^2 = 12$، و$\binom{3}{3}\cdot 1^0\cdot 2^3 = 8$. وبجمعها نحصل على:

$$1 + 6 + 12 + 8 = 27$$

وهو ما يساوي $3^3 = 27$، فيتأكد صحّة المفكوك.

مثلث باسكال: المعاملات الثنائية حسب الأس

كل صف $n$ من مثلث باسكال يسرد المعاملات الثنائية $\binom{n}{k}$ لـ $k = 0, 1, 2, \dots, n$. وهذه هي بالضبط المعاملات الرقمية التي تظهر في التوسع $(a+b)^n$. اقرأ عبر صف للحصول على معامل كل حد، بدءًا من $a^n b^0$ على اليسار وينتهي عند $a^0 b^n$ على اليمين.

$n$	المعاملات الثنائية $\binom{n}{0},\,\binom{n}{1},\,\dots,\,\binom{n}{n}$	مجموع الصف $2^n$
0	1	1
1	1, 1	2
2	1, 2, 1	4
3	1, 3, 3, 1	8
4	1, 4, 6, 4, 1	16
5	1, 5, 10, 10, 5, 1	32
6	1, 6, 15, 20, 15, 6, 1	64
7	1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1	128
8	1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1	256
9	1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1	512
10	1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1	1024

كل مدخل يساوي مجموع المدخلين الموجودين مباشرة فوقه (على سبيل المثال، الوسط من الصف 6 هو $10 + 10 = 20$). يمكن أيضًا حساب المعامل الأوسط من الصف 6 مباشرة على أنه $\binom{6}{3} = $ 20، وإجمالي الصف $\sum_{k} \binom{n}{k} = 2^n$ يؤكد أن التوسع $(a+b)^n$ يحتوي على $n+1$ حدود.

أمثلة محلولة إضافية

يستخدم كل توسع $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\,a^{\,n-k}\,b^{\,k}$ ويسحب معاملاته مباشرة من الصف المطابق في مثلث باسكال.

المثال 1: $(x-2)^4$ — إشارات متناوبة

هنا $a = x$، $b = -2$، $n = 4$. الصف 4 من مثلث باسكال هو $1, 4, 6, 4, 1$. لأن $b$ سالبة، فإن قوى $-2$ تجعل الإشارات تتناوب:

$\binom{4}{0}x^4(-2)^0 = 1\cdot x^4 \cdot 1 = x^4$
$\binom{4}{1}x^3(-2)^1 = 4\cdot x^3 \cdot(-2) = -8x^3$
$\binom{4}{2}x^2(-2)^2 = 6\cdot x^2 \cdot 4 = 24x^2$
$\binom{4}{3}x^1(-2)^3 = 4\cdot x \cdot(-8) = -32x$
$\binom{4}{4}x^0(-2)^4 = 1\cdot 1 \cdot 16 = 16$

بدمج: $(x-2)^4 = x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16$.

المثال 2: $(2+3)^5$ — رقمي بالكامل

هنا $a = 2$، $b = 3$، $n = 5$، والصف 5 هو $1, 5, 10, 10, 5, 1$:

$\binom{5}{0}2^5 3^0 = 1\cdot 32\cdot 1 = 32$
$\binom{5}{1}2^4 3^1 = 5\cdot 16\cdot 3 = 240$
$\binom{5}{2}2^3 3^2 = 10\cdot 8\cdot 9 = 720$
$\binom{5}{3}2^2 3^3 = 10\cdot 4\cdot 27 = 1080$
$\binom{5}{4}2^1 3^4 = 5\cdot 2\cdot 81 = 810$
$\binom{5}{5}2^0 3^5 = 1\cdot 1\cdot 243 = 243$

جمع الحدود: $32 + 240 + 720 + 1080 + 810 + 243 = $ 3125. كتحقق، $(2+3)^5 = 5^5 = 3125$.

المثال 3: $\left(1+\tfrac{1}{2}\right)^3$ — قاعدة كسرية

هنا $a = 1$، $b = \tfrac{1}{2}$، $n = 3$، والصف 3 يساوي $1, 3, 3, 1$:

$\binom{3}{0}1^3\left(\tfrac{1}{2}\right)^0 = 1\cdot 1\cdot 1 = 1$
$\binom{3}{1}1^2\left(\tfrac{1}{2}\right)^1 = 3\cdot 1\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}$
$\binom{3}{2}1^1\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = 3\cdot 1\cdot\tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}$
$\binom{3}{3}1^0\left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = 1\cdot 1\cdot\tfrac{1}{8} = \tfrac{1}{8}$

إضافة الحدود: $1 + \tfrac{3}{2} + \tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{8} = \tfrac{8+12+6+1}{8} = \tfrac{27}{8} = $ 3.375. وهذا يطابق $\left(\tfrac{3}{2}\right)^3 = \tfrac{27}{8}$.

اعلان

المصطلحات والتعاريف الأساسية

المعامل الثنائي $\binom{n}{k}$: الرقم الذي يضرب كل حد من التوسع، يُقرأ "n اختر k". يحسب عدد الطرق لاختيار $k$ عناصر من $n$ ويُحسب على النحو التالي $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$. على سبيل المثال، $\binom{5}{2} = $ 10.
الأس $n$: القوة الصحيحة التي يُرفع إليها الثنائي $(a+b)$. وهو يحدد أعلى قوة ويحدد أن التوسع يحتوي على $n+1$ حدود بالضبط.
الحد: قطعة مضافة واحدة من النتيجة المتوسعة، بالصيغة $\binom{n}{k}\,a^{\,n-k}\,b^{\,k}$. الأسس على $a$ و $b$ في حد واحد تضيف دائمًا إلى $n$.
الحدود الأساسية $a$ و $b$: الكميتان اللتان يتم إضافتهما داخل الأقواس. قد تكون أرقامًا أو متغيرات أو كسورًا أو قيمًا سالبة؛ على سبيل المثال في $(x-2)^4$، $a = x$ و $b = -2$.
المضروب $n!$: حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة حتى $n$: $n! = n\times(n-1)\times\cdots\times 2\times 1$، مع $0! = 1$ بالتعريف. على سبيل المثال، $5! = $ 120. تكمن المضروبات وراء صيغة كل معامل ثنائي.
مثلث باسكال: مصفوفة مثلثة حيث يسرد الصف $n$ المعاملات $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}$. كل مدخل داخلي يساوي مجموع المدخلين فوقه، مما يوفر طريقة سريعة لقراءة المعاملات الثنائية دون حساب المضروبات.