ما هي حاسبة مفكوك ثنائي الحد؟
تقوم هذه الأداة بفك المقدار \((a + b)^{n}\) باستخدام نظرية ذات الحدين (نظرية المفكوك الثنائي). تُرجِع لك القيمة العددية للمقدار، وعدد الحدود الناتجة، وقائمة كاملة بكل معامل ثنائي الحد \(C(n,k)\) مع كل حد على حدة. تعمل الحاسبة مع أي أُس صحيح غير سالب حتى 20، ومع أي معاملين حقيقيين \(a\) و \(b\).
كيفية الاستخدام
أدخِل معامل الحد الأول a، ومعامل الحد الثاني b، والأُس n، ثم اضغط على زر الحساب. يعرض المربع الرئيسي القيمة الكلية للمقدار \((a + b)^{n}\)، بينما يؤكّد الجدول عدد الحدود ومجموع كل الحدود بعد الفك (وهو الذي يجب أن يساوي القيمة نفسها). أما مربع المفكوك فيسرد كل معامل وكل حد حتى تتمكّن من مراجعة خطواتك الجبرية.
شرح القانون
تنص نظرية ذات الحدين على أن \((a + b)^{n}\) تساوي مجموع الحدود من \(k = 0\) إلى \(n\) للمقدار \(C(n,k) \cdot a^{n-k} \cdot b^{k}\). وتُشكّل المعاملات \(C(n,k)\) صفًّا من صفوف مثلث باسكال. نحن نحسبها بكفاءة عبر علاقة التكرار $$C(n,k) = C(n,k-1) \cdot \frac{n - k + 1}{k}$$ وبذلك نتجنّب حساب المضروبات الكبيرة.
مثال محلول
لِنأخذ \((1 + 1)^{4}\): تكون المعاملات هي 1 و4 و6 و4 و1. وبما أن \(a = b = 1\) فإن كل حد يساوي معامله، ومن ثَمّ يكون المفكوك $$1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16$$ وهو ما يطابق \(2^{4} = 16\). تنتج الحاسبة 5 حدود وقيمة قدرها 16.
مرجع مثلث باسكال (الصفوف n = 0 إلى 10)
كل صف \(n\) من مثلث باسكال يسرد المعاملات الثنائية \(\binom{n}{k}\) لـ \(k = 0, 1, \dots, n\). هذه هي بالضبط المعاملات التي تظهر عند فك \((a+b)^n\). كل إدخال داخلي يساوي مجموع الإدخالين الموجودين مباشرة فوقه، وإدخالات كل صف تجمع إلى \(2^n\).
| \(n\) | المعاملات \(\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}\) | مجموع الصف \(2^n\) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1, 1 | 2 |
| 2 | 1, 2, 1 | 4 |
| 3 | 1, 3, 3, 1 | 8 |
| 4 | 1, 4, 6, 4, 1 | 16 |
| 5 | 1, 5, 10, 10, 5, 1 | 32 |
| 6 | 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 | 64 |
| 7 | 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 | 128 |
| 8 | 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1 | 256 |
| 9 | 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1 | 512 |
| 10 | 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1 | 1024 |
على سبيل المثال، المعامل الأوسط في الصف 10 هو 252، الموجود عند \(k=5\). كل صف متماثل لأن \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\).
المزيد من الأمثلة المشروحة
المثال 1: \((x+2)^3\)
هنا \(a=x\)، \(b=2\)، و \(n=3\). معاملات الصف 3 هي \(1, 3, 3, 1\). عوض في \(\sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}x^{3-k}2^{k}\):
$$\binom{3}{0}x^3(2)^0 + \binom{3}{1}x^2(2)^1 + \binom{3}{2}x^1(2)^2 + \binom{3}{3}x^0(2)^3$$$$= 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2\cdot 2 + 3\cdot x\cdot 4 + 1\cdot 8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$$تنحدر قوى \(x\) بمقدار \(3 \to 0\) بينما تصعد قوى \(2\) بمقدار \(0 \to 3\).
المثال 2: \((2a-b)^4\) — الإشارات المتناوبة
اكتب الطرح بصيغة \(b \to -b\)، وبالتالي الحدود الأساسية هي \(2a\) و \(-b\)، مع \(n=4\) والمعاملات \(1, 4, 6, 4, 1\):
$$\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}(2a)^{4-k}(-b)^{k}$$$$= 1(2a)^4 + 4(2a)^3(-b) + 6(2a)^2(-b)^2 + 4(2a)(-b)^3 + 1(-b)^4$$$$= 16a^4 - 32a^3 b + 24a^2 b^2 - 8a b^3 + b^4$$لأن \((-b)^k\) سالب عندما يكون \(k\) فردياً وموجب عندما يكون \(k\) زوجياً، فإن الإشارات تتناوب \(+,-,+,-,+\).
المثال 3: \((x+1)^6\) — القوى الصعودية والهابطة الصريحة
مع \(a=x\)، \(b=1\)، \(n=6\)، معاملات الصف 6 هي \(1, 6, 15, 20, 15, 6, 1\). نظراً لأن كل قوة من \(1\) تساوي \(1\)، تظهر المعاملات مباشرة:
$$(x+1)^6 = x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1$$المعامل المركزي \(20\) يساوي 20، أي \(\binom{6}{3}\). الأس على \(x\) ينحدر من \(6\) إلى \(0\) عبر الحدود السبعة.
المصطلحات والمتغيرات الأساسية
- \(a\) — الحد الأساسي الأول
- الكمية الأولى داخل الثنائية \((a+b)^n\). في كل حد موسع يرفع إلى القوة الهابطة \(a^{n-k}\).
- \(b\) — الحد الأساسي الثاني
- الكمية الثانية داخل الثنائية. يرفع إلى القوة الصعودية \(b^{k}\). للطرح \((a-b)^n\)، تعامل مع \(b\) كقيمة سالبة بحيث تتناوب الإشارات.
- \(n\) — الأس (الدرجة)
- القوة التي يرفع إليها الثنائية. بالنسبة لعدد صحيح موجب \(n\)، يحتوي التوسع على \(n+1\) حد بالضبط، و \(n\) يختار الصف \(n\) من مثلث باسكال.
- \(k\) — فهرس الجمع
- العداد الذي يعمل من \(0\) إلى \(n\) في \(\sum_{k=0}^{n}\). يحدد موضع كل حد ويضبط الأس \(a^{n-k}b^{k}\).
- \(\binom{n}{k}\) — المعامل الثنائي
- اقرأ «n اختر k،» محسوب بصيغة \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\). وهو المضروب العددي (أيضاً عدد الطرق لاختيار \(k\) عنصر من \(n\)) على الحد ذي الفهرس \(k\).
- حد واحد
- واحد من الإضافات الكاملة بالصيغة \(\binom{n}{k}\,a^{n-k}\,b^{k}\): معامل مضروب في قوة \(a\) وقوة \(b\)، وأسسها يجمع دائماً إلى \(n\).
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن يكون \(n\) كسرًا أو عددًا سالبًا؟ تدعم هذه الحاسبة الأُسس الصحيحة غير السالبة (من 0 إلى 20)، حيث يحتوي المفكوك على \(n + 1\) من الحدود بالضبط.
ما معنى صف «مجموع الحدود»؟ إنه يجمع كل حدود المفكوك كتحقُّق من صحة النتيجة؛ ويجب أن يساوي دائمًا القيمة المُعلَنة للمقدار \((a + b)^{n}\).
لماذا تستخدم قائمة المعاملات الرمز \(C(n,k)\)؟ الرمز \(C(n,k)\) هو الترميز القياسي لمعامل ثنائي الحد، وهو يساوي \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\)، ويُعطي المُعامِل المضروب في كل حد.
