二項展開計算ツールとは？
このツールは、二項定理を使って \((a + b)^{n}\) を展開します。式全体の数値、生成される項の数、そしてすべての二項係数 \(C(n,k)\) と各項を一覧で表示します。指数 \(n\) は 0 以上 20 以下の整数、係数 \(a\) と \(b\) は任意の実数に対応しています。
使い方
第1項の係数 a、第2項の係数 b、そして指数 n を入力し、計算ボタンを押すだけです。上部のボックスには \((a + b)^{n}\) の合計値が表示され、表には項の数と、展開したすべての項の和（この値と一致するはずです）が示されます。展開ボックスには各係数と各項が並ぶので、自分で解いた計算の検算にも便利です。
公式の解説
二項定理によると、\((a + b)^{n}\) は k = 0 から n までの \(C(n,k) \cdot a^{n-k} \cdot b^{k}\) の総和に等しくなります。
$$\left(a + b\right)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{\,n-k}\, b^{\,k}$$係数 \(C(n,k)\) は、パスカルの三角形の1つの行を構成します。このツールでは、大きな階乗の計算を避けるため、漸化式 $$C(n,k) = C(n,k-1) \cdot \frac{n - k + 1}{k}$$ を用いて効率的に求めています。
計算例
\((1 + 1)^{4}\) の場合、係数は 1, 4, 6, 4, 1 となります。\(a = b = 1\) なので各項はそのまま係数と等しく、展開すると $$1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16$$ となり、\(2^{4} = 16\) と一致します。このツールでは、項の数は 5、値は 16 と表示されます。
パスカルの三角形リファレンス（行 n = 0～10）
パスカルの三角形の各行 \(n\) には、\(k = 0, 1, \dots, n\) に対する二項係数 \(\binom{n}{k}\) が列挙されています。これらは、\((a+b)^n\) を展開したときに現れる係数そのものです。すべての内部エントリーはその直上の2つのエントリーの合計に等しく、各行のエントリーの合計は \(2^n\) です。
| \(n\) | 係数 \(\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}\) | 行の合計 \(2^n\) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1, 1 | 2 |
| 2 | 1, 2, 1 | 4 |
| 3 | 1, 3, 3, 1 | 8 |
| 4 | 1, 4, 6, 4, 1 | 16 |
| 5 | 1, 5, 10, 10, 5, 1 | 32 |
| 6 | 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 | 64 |
| 7 | 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 | 128 |
| 8 | 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1 | 256 |
| 9 | 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1 | 512 |
| 10 | 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1 | 1024 |
例えば、行10の中央の係数は 252 で、\(k=5\) で見つかります。各行は対称です。なぜなら \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) だからです。
さらに詳しい計算例
例1: \((x+2)^3\)
ここで \(a=x\)、\(b=2\)、\(n=3\) です。行3の係数は \(1, 3, 3, 1\) です。\(\sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}x^{3-k}2^{k}\) に代入します：
$$\binom{3}{0}x^3(2)^0 + \binom{3}{1}x^2(2)^1 + \binom{3}{2}x^1(2)^2 + \binom{3}{3}x^0(2)^3$$$$= 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2\cdot 2 + 3\cdot x\cdot 4 + 1\cdot 8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$$\(x\) の指数は \(3 \to 0\) へと降下し、\(2\) の指数は \(0 \to 3\) へと上昇します。
例2: \((2a-b)^4\) — 交互の符号
減算を \(b \to -b\) と書き直すと、基本項は \(2a\) と \(-b\) で、\(n=4\) であり係数は \(1, 4, 6, 4, 1\) です：
$$\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}(2a)^{4-k}(-b)^{k}$$$$= 1(2a)^4 + 4(2a)^3(-b) + 6(2a)^2(-b)^2 + 4(2a)(-b)^3 + 1(-b)^4$$$$= 16a^4 - 32a^3 b + 24a^2 b^2 - 8a b^3 + b^4$$\((-b)^k\) は奇数 \(k\) に対して負、偶数 \(k\) に対して正なので、符号は \(+,-,+,-,+\) と交互になります。
例3: \((x+1)^6\) — 明示的な昇・降冪
\(a=x\)、\(b=1\)、\(n=6\) のとき、行6の係数は \(1, 6, 15, 20, 15, 6, 1\) です。\(1\) のすべての指数は \(1\) なので、係数が直接現れます：
$$(x+1)^6 = x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1$$中央の係数 \(20\) は 20 に等しく、すなわち \(\binom{6}{3}\) です。\(x\) の指数は7つの項全体で \(6\) から \(0\) へ降下します。
重要用語と変数
- \(a\) — 第1基本項
- 二項式 \((a+b)^n\) 内の第1の量です。展開後の各項では、降下指数 \(a^{n-k}\) で累乗されます。
- \(b\) — 第2基本項
- 二項式内の第2の量です。上昇指数 \(b^{k}\) で累乗されます。減算 \((a-b)^n\) の場合、\(b\) を負として扱うため符号が交互になります。
- \(n\) — 指数（次数）
- 二項式が累乗される冪です。非負整数 \(n\) の場合、展開式はちょうど \(n+1\) 個の項を持ち、\(n\) はパスカルの三角形の行 \(n\) を選択します。
- \(k\) — 総和インデックス
- \(\sum_{k=0}^{n}\) で \(0\) から \(n\) まで実行されるカウンターです。各項の位置を特定し、指数 \(a^{n-k}b^{k}\) を設定します。
- \(\binom{n}{k}\) — 二項係数
- 「n個の中からk個選ぶ」と読み、\(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\) として計算されます。これはインデックス \(k\) を持つ項の数値乗数です（また、\(n\) 個から \(k\) 個を選ぶ方法の数でもあります）。
- 1つの項
- \(\binom{n}{k}\,a^{n-k}\,b^{k}\) の形の完全な総和項1つです。係数に \(a\) の冪と \(b\) の冪を乗じたもので、その指数は常に \(n\) に加えられます。
よくある質問
n に分数や負の数は使えますか？ このツールは 0 以上 20 以下の整数の指数に対応しています。このとき展開はちょうど \(n + 1\) 個の項になります。
「項の合計」の行は何を意味しますか？ 展開したすべての項を合計した検算用の値です。常に \((a + b)^{n}\) の値と一致します。
係数の一覧でなぜ C(n,k) という表記を使うのですか？ \(C(n,k)\) は標準的な二項係数の表記で、\(\frac{n!}{k!(n-k)!}\) に等しく、各項にかかる係数を表します。
