二項展開の特定項計算機とは？
この計算機は、\((a + b)^n\) を全部展開しなくても、二項展開の中の特定の1項だけをピンポイントで求めるツールです。「第5項が知りたい」「定数項を求めたい」「ある次数の係数だけ欲しい」——そんなときに、一般項の公式を使って直接答えを出します。数学の普遍的な公式に基づくツールなので、国や地域に関係なくどこでもそのまま使えます。
使い方
1つ目の数 a、2つ目の数 b、指数 n、そして求めたい項の位置 k（1番目の項なら1、2番目なら2…）を入力してください。計算機は二項係数 \(C(n, r)\)、その項の値、そして各文字の指数を返します。第k項は \(r = k - 1\) に対応する点に注意しましょう。
公式の解説
\((a + b)^n\) の展開における一般項は次のとおりです。
$$T_{r+1} = C(n, r) \cdot a^{\,n-r} \cdot b^{\,r}$$ここで \(C(n, r) = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\) が二項係数です。第k項は \(r = k - 1\) に対応するので、最初の項は \(r = 0\)、最後の項は \(r = n\) となります。指数の和は常に \(n\) になります：\((n - r) + r = n\)。
計算例
\((2 + 3)^4\) の第3項を求めてみましょう。\(a = 2\)、\(b = 3\)、\(n = 4\)、\(k = 3\) なので \(r = 2\) です。係数は \(C(4, 2) = 6\)。項の値は $$6 \cdot 2^{\,4-2} \cdot 3^{2} = 6 \cdot 4 \cdot 9 = 216$$ となります。
パスカルの三角形 / 二項係数表
以下の項目は二項係数 \(\binom{n}{r}\) です。展開の第 \(k\) 項を求めるには、行 \(n\) に沿って読み、列 \(r=k-1\) の値を取ります（列は 0 から始まります）。例えば、\((a+b)^6\) の第 4 項は \(r=3\) を使用し、\(\binom{6}{3}=20\) となります。
| n | r=0 | r=1 | r=2 | r=3 | r=4 | r=5 | r=6 | r=7 | r=8 | r=9 | r=10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
各項は上にある 2 つの項の合計に等しく、各行は対称です：\(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)。
定義と用語集
- \(a\) — 第 1 項（底）
- 二項式 \((a+b)^n\) の内部にある先頭の式。各項ではべき乗 \(n-r\) に引き上げられます。
- \(b\) — 第 2 項（底）
- 二項式の内部の後続式。各項ではべき乗 \(r\) に引き上げられます。負の値または逆数（例：\(1/x\)）である可能性があります。その符号と形は項の値に反映されます。
- \(n\) — 指数（次数）
- 二項式が引き上げられるべき乗。完全な展開は \(n+1\) 個の項を持ち、各項の \(a\) と \(b\) の指数の合計は常に \(n\) に等しくなります。
- \(k\) — 項番号
- 必要な項の位置（1 から数えます。最初の項 \(a^n\) は \(k=1\)）。有効な値は \(1\) から \(n+1\) までです。
- \(r\) — 係数インデックス
- 二項係数と指数で使用される 0 ベースのインデックス。\(r=k-1\) で定義されます。これは \(b\) の指数でもあります。
- \(T_{r+1}\) — 一般項
- 展開の第 \((r+1)\) 項の公式：\(T_{r+1}=\binom{n}{r}\,a^{\,n-r}\,b^{\,r}\)。\(r=k-1\) を設定すると第 \(k\) 項が得られます。
- \(\binom{n}{r}\) — 二項係数
- 「\(n\) 個から \(r\) 個を選ぶ」と読み、\(n\) 個から \(r\) 個の項目を選ぶ方法の数をカウントします。計算式は \(\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\) です。これは項の数値係数（\(a\) または \(b\) の符号の前）です。
よくある質問
k は何を表すの？ k は1から数えた項の番号です。第k項は公式の中で \(r = k - 1\) を使います。
定数項はどうやって求める？ \((x + 1/x)^n\) のような式では、\(x\) の正味の次数が0になるように \(r\) を解いてから、その \(r\)（\(k = r + 1\)）をここに入力してください。
a や b はマイナスや分数でもいい？ はい。この計算機は \(a^{\,n-r} \cdot b^{\,r}\) を数値として評価するので、負の数や小数でも問題なく計算できます。
