¿Qué es la calculadora del término del binomio?
Esta calculadora obtiene un único término concreto del desarrollo de \((a + b)^n\) sin necesidad de desplegar toda la expresión. Tanto si buscas el quinto término, el término independiente o el coeficiente de una potencia determinada, la fórmula del término general te lo da directamente. Es una herramienta matemática universal: funciona en cualquier país, sin reglas específicas de ningún territorio.
Cómo se usa
Introduce el primer valor de la base a, el segundo valor de la base b, el exponente n y la posición del término k (1 para el primer término, 2 para el segundo, y así sucesivamente). La calculadora te devuelve el coeficiente binomial \(C(n, r)\), el valor del término y los exponentes correspondientes. Ten en cuenta que el k-ésimo término usa \(r = k - 1\).
La fórmula, explicada
El término general en el desarrollo de \((a + b)^n\) es:
$$T_{r+1} = \binom{n}{r}\, a^{\,n-r}\, b^{\,r}$$Aquí \(C(n, r) = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\) es el coeficiente binomial. El k-ésimo término corresponde a \(r = k - 1\), de modo que el primer término tiene \(r = 0\) y el último tiene \(r = n\). Los exponentes siempre suman \(n\): \((n - r) + r = n\).
Ejemplo resuelto
Calculemos el tercer término de \((2 + 3)^4\). Tenemos \(a = 2\), \(b = 3\), \(n = 4\), \(k = 3\), por lo que \(r = 2\). El coeficiente es \(C(4, 2) = 6\). El término es:
$$6 \cdot 2^{\,4-2} \cdot 3^2 = 6 \cdot 4 \cdot 9 = 216$$
Triángulo de Pascal / Tabla de Coeficientes Binomiales
Las entradas a continuación son los coeficientes binomiales \(\binom{n}{r}\). Para encontrar el término de número \(k\) de una expansión, lea a lo largo de la fila \(n\) y tome el valor en columna \(r=k-1\) (las columnas se numeran comenzando en 0). Por ejemplo, el 4.º término de \((a+b)^6\) usa \(r=3\), dando \(\binom{6}{3}=20\).
| n | r=0 | r=1 | r=2 | r=3 | r=4 | r=5 | r=6 | r=7 | r=8 | r=9 | r=10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
Cada entrada es igual a la suma de las dos entradas que están encima de ella, y cada fila es simétrica: \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\).
Definiciones y Glosario
- \(a\) — primer término (base)
- La expresión principal dentro del binomio \((a+b)^n\). En cada término se eleva a la potencia \(n-r\).
- \(b\) — segundo término (base)
- La expresión final dentro del binomio. En cada término se eleva a la potencia \(r\). Puede ser negativo o una fracción (p. ej. \(1/x\)); su signo y forma se trasladan al valor del término.
- \(n\) — exponente (grado)
- La potencia a la que se eleva el binomio. La expansión completa tiene \(n+1\) términos, y los exponentes de \(a\) y \(b\) en cada término siempre suman \(n\).
- \(k\) — número de término
- La posición del término que desea, contada desde 1 (el primer término, \(a^n\), es \(k=1\)). Los valores válidos van de \(1\) a \(n+1\).
- \(r\) — índice de coeficiente
- El índice de base cero utilizado en el coeficiente binomial y las potencias, definido por \(r=k-1\). También es la potencia de \(b\).
- \(T_{r+1}\) — término general
- La fórmula para el término número \((r+1)\) de la expansión: \(T_{r+1}=\binom{n}{r}\,a^{\,n-r}\,b^{\,r}\). Si se establece \(r=k-1\) se obtiene el término de número \(k\).
- \(\binom{n}{r}\) — coeficiente binomial
- Se lee "\(n\) sobre \(r\)", cuenta las formas de elegir \(r\) elementos de \(n\) y se calcula como \(\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\). Es el coeficiente numérico (antes de cualquier signo de \(a\) o \(b\)) del término.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa k? \(k\) es el número de orden del término, contando desde 1. El k-ésimo término utiliza \(r = k - 1\) en la fórmula.
¿Cómo encuentro el término independiente? Para expresiones como \((x + 1/x)^n\), iguala a cero la potencia neta de \(x\) y despeja \(r\); después usa ese valor \((k = r + 1)\) en la calculadora.
¿Pueden ser a y b negativos o fraccionarios? Sí: la calculadora evalúa \(a^{\,n-r} \cdot b^{\,r}\) de forma numérica, así que los valores negativos y decimales también funcionan.
