¿Qué es la calculadora de probabilidad binomial?
Esta herramienta calcula la probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n ensayos independientes, donde cada ensayo tiene la misma probabilidad de éxito p. Situaciones como lanzar una moneda un número fijo de veces, contar piezas defectuosas en un lote o medir cuántos tiros libres encesta un jugador siguen todas la distribución binomial.
Cómo usarla
Introduce el número de ensayos (n), el número de éxitos que te interesa (k) y la probabilidad de éxito en un solo ensayo (p, entre 0 y 1). La calculadora te devuelve la probabilidad exacta \(P(X = k)\), las dos probabilidades acumuladas \(P(X \le k)\) y \(P(X \ge k)\), además de la media y la desviación estándar de la distribución.
La fórmula explicada
La fórmula de la probabilidad binomial es:
$$P(X = \text{k}) = \binom{\text{n}}{\text{k}} \, \text{p}^{\,\text{k}} \, (1 - \text{p})^{\,\text{n} - \text{k}}$$Aquí \(C(n,k)\) es el coeficiente binomial (el número de formas de distribuir k éxitos entre n ensayos), \(p^{k}\) es la probabilidad de esos k éxitos y \((1 - p)^{n - k}\) es la probabilidad de los n − k fracasos restantes. La media de la distribución es \(n \cdot p\) y la desviación estándar es \(\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\).
Ejemplo resuelto
Supongamos que lanzas una moneda equilibrada 10 veces (n = 10, p = 0,5) y quieres la probabilidad de obtener exactamente 3 caras (k = 3). Como \(C(10,3) = 120\), entonces $$P = 120 \cdot 0{,}5^{3} \cdot 0{,}5^{7} = 120 \cdot 0{,}0009765625 = \mathbf{0{,}1171875}$$ es decir, alrededor del 11,7 %.
Más ejemplos resueltos
Cada ejemplo utiliza la fórmula de probabilidad binomial \(P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}\), donde \(n\) es el número de ensayos independientes, \(p\) es la probabilidad de éxito en cada ensayo, y \(k\) es el número de éxitos de interés.
Ejemplo 1 — Artículos defectuosos, P(X ≤ 2)
Un envío tiene una tasa de defectos de \(p = 0.05\). En una muestra aleatoria de \(n = 20\) artículos, ¿cuál es la probabilidad de que como máximo 2 sean defectuosos? Necesitamos \(P(X \le 2) = P(0) + P(1) + P(2)\).
- \(P(0) = \binom{20}{0}(0.05)^0(0.95)^{20} = 1 \cdot 1 \cdot 0.358486 = 0.358486\)
- \(P(1) = \binom{20}{1}(0.05)^1(0.95)^{19} = 20 \cdot 0.05 \cdot 0.377354 = 0.377354\)
- \(P(2) = \binom{20}{2}(0.05)^2(0.95)^{18} = 190 \cdot 0.0025 \cdot 0.397214 = 0.188677\)
Nótese que \(\binom{20}{2} = 190\). Sumando los tres términos:
$$P(X \le 2) = 0.358486 + 0.377354 + 0.188677 = 0.924516$$Entonces hay aproximadamente una probabilidad de 0.188677 de exactamente 2 defectos, y aproximadamente una probabilidad del 92.5% de 2 o menos. La distribución tiene media \(\mu = np = 20 \cdot 0.05 = 1\) defecto y desviación estándar \(\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{20 \cdot 0.05 \cdot 0.95} = \sqrt{0.95} \approx 0.9747\).
Ejemplo 2 — Tiros libres, P(X ≥ 4)
Un jugador acierta tiros libres con probabilidad \(p = 0.8\) y realiza \(n = 5\) disparos. ¿Cuál es la probabilidad de acertar al menos 4? Necesitamos \(P(X \ge 4) = P(4) + P(5)\).
- \(P(4) = \binom{5}{4}(0.8)^4(0.2)^1 = 5 \cdot 0.4096 \cdot 0.2 = 0.4096\)
- \(P(5) = \binom{5}{5}(0.8)^5(0.2)^0 = 1 \cdot 0.32768 \cdot 1 = 0.32768\)
Aquí \(\binom{5}{4} = 5\) y \(\binom{5}{5} = 1\). Sumando:
$$P(X \ge 4) = 0.4096 + 0.32768 = 0.73728$$El jugador acierta al menos 4 de 5 disparos aproximadamente el 73.7% de las veces. El número esperado de tiros acertados es \(\mu = np = 5 \cdot 0.8 = 4\) con desviación estándar \(\sigma = \sqrt{5 \cdot 0.8 \cdot 0.2} = \sqrt{0.8} \approx 0.8944\). El resultado más probable es \(P(X = 4) = \)0.4096.
Ejemplo 3 — Respuestas de encuesta, valor exacto
Supongamos que el 30% de las personas \((p = 0.3)\) reconocen una marca, y usted encuesta a \(n = 10\). La probabilidad de que exactamente 3 la reconozcan es:
$$P(X = 3) = \binom{10}{3}(0.3)^3(0.7)^7 = 120 \cdot 0.027 \cdot 0.0823543 = 0.266828$$Con \(\binom{10}{3} = 120\), el resultado es \(P(X=3) \approx\) 0.266828. La media es \(\mu = np = 3\) reconocimientos, coincidiendo con el conteo más probable, con \(\sigma = \sqrt{10 \cdot 0.3 \cdot 0.7} \approx 1.449\).
Términos y variables clave
| Símbolo / Término | Significado |
|---|---|
| \(n\) — número de ensayos | El número fijo total de repeticiones independientes del experimento (p. ej. artículos inspeccionados, disparos realizados). Debe ser un entero no negativo. |
| \(k\) — número de éxitos | El conteo específico de resultados exitosos cuya probabilidad desea conocer, con \(0 \le k \le n\). |
| \(p\) — probabilidad de éxito | La probabilidad de un éxito en cualquier ensayo individual, la misma para cada ensayo. Un valor entre 0 y 1. |
| \(q = 1 - p\) — probabilidad de fracaso | La probabilidad de un fracaso en un ensayo individual. Como cada ensayo es un éxito o un fracaso, \(p + q = 1\). |
| \(\binom{n}{k}\) — coeficiente binomial | El número de formas distintas de elegir \(k\) éxitos entre \(n\) ensayos, leído "n sobre k": \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\). |
| \(P(X = k)\) — probabilidad exacta | Probabilidad de obtener exactamente \(k\) éxitos: \(\binom{n}{k} p^{k} q^{\,n-k}\). |
| \(P(X \le k)\) — acumulada (como máximo) | Probabilidad de \(k\) o menos éxitos, la suma \(P(0) + P(1) + \dots + P(k)\). |
| \(P(X \ge k)\) — acumulada (al menos) | Probabilidad de \(k\) o más éxitos, igual a \(1 - P(X \le k-1)\). |
| \(\mu = np\) — media | El número esperado (promedio) de éxitos en muchas repeticiones del experimento de \(n\) ensayos. |
| \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\) — desviación estándar | Una medida de cuánto típicamente el número de éxitos varía alrededor de la media. |
Interpretando su resultado
La calculadora binomial puede responder tres preguntas relacionadas pero distintas, y es importante hacer coincidir el resultado con la pregunta que realmente formuló.
- Probabilidad exacta, \(P(X = k)\): la posibilidad de obtener precisamente \(k\) éxitos — ni más ni menos. Úselo para preguntas como "¿cuál es la probabilidad de exactamente 3 defectos?" Como fija un resultado único, este valor es generalmente menor que las probabilidades acumuladas a continuación.
- Como máximo, \(P(X \le k)\): la posibilidad de \(k\) o menos éxitos. Suma las probabilidades de \(0, 1, \dots, k\). Úselo para frases como "no más de", "como máximo", o "menor o igual a".
- Al menos, \(P(X \ge k)\): la posibilidad de \(k\) o más éxitos. Un atajo conveniente es \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\). Úselo para frases como "al menos", "no menos de", o "mínimo de".
Observe cuidadosamente el límite: "más de \(k\)" significa \(P(X \ge k+1)\), y "menos de \(k\)" significa \(P(X \le k-1)\). Una sola palabra cambia cuáles términos se suman.
La media \(\mu = np\) es el número esperado de éxitos — el conteo promedio a largo plazo si repitiera el experimento completo de \(n\) ensayos muchas veces. Para \(n = 20\) artículos con \(p = 0.05\), esperaría \(\mu = 1\) defecto en promedio, aunque cualquier muestra individual podría tener 0, 1, 2 o más. La media también es (casi) el resultado único más probable, por lo que comparar su \(k\) con \(np\) le dice si está preguntando sobre un resultado típico o uno inusual.
La desviación estándar \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\) describe la dispersión de resultados alrededor de la media. La mayoría de los resultados caen dentro de aproximadamente una o dos desviaciones estándar de \(np\). Cuando \(k\) está a varios desvíos estándar de distancia de la media, la probabilidad correspondiente es pequeña, que es exactamente por qué los eventos "extremos" parecen sorprendentes. Cuando \(n\) es grande y \(p\) no está demasiado cerca de 0 o 1, la distribución binomial es aproximadamente normal con esta misma media y desviación estándar, permitiendo una aproximación de curva normal para probabilidades acumuladas.
Esta es información estadística general para ayudarle a leer el resultado; siempre confirme que su escenario cumple los supuestos binomiales (un número fijo de ensayos independientes, dos resultados por ensayo, y una probabilidad de éxito constante) antes de confiar en el resultado.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo puedo usar la distribución binomial? Cuando tienes un número fijo de ensayos independientes, cada uno con dos resultados posibles (éxito/fracaso) y una probabilidad de éxito constante.
¿Qué significa \(P(X \ge k)\)? Es la probabilidad de obtener al menos k éxitos, muy útil para preguntas del tipo «k o más».
¿Puede ser p mayor que 1? No. La probabilidad debe estar entre 0 y 1; los valores fuera de ese rango se ajustan automáticamente a los límites.
