¿Qué es la probabilidad de como máximo k éxitos?
Esta calculadora obtiene la probabilidad binomial acumulada \(P(X \le k)\): la probabilidad de conseguir como máximo k éxitos en n ensayos independientes, cuando cada ensayo tiene una probabilidad de éxito p. Para ello suma las probabilidades binomiales individuales desde 0 éxitos hasta k éxitos inclusive. Se trata de la cola inferior (la función de distribución acumulada) de la distribución binomial.
Cómo utilizarla
Introduce el número de ensayos n, el umbral k (el número máximo de éxitos que quieres permitir) y la probabilidad de éxito por ensayo p como un decimal entre 0 y 1. La herramienta devuelve \(P(X \le k)\), su valor en porcentaje, el complemento \(P(X > k)\) y el número esperado de éxitos \(np\).
La fórmula explicada
La probabilidad de obtener exactamente i éxitos es el término binomial \(\binom{n}{i}\, p^{\,i}\, (1-p)^{\,n-i}\), donde \(\binom{n}{i}\) es el número de maneras de elegir qué i ensayos resultan exitosos. Para calcular «como máximo k», sumamos estos términos para i = 0, 1, …, k:
$$P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i}\, p^{\,i}\, (1-p)^{\,n-i}$$La calculadora emplea una recurrencia numéricamente estable entre términos sucesivos, lo que mantiene los resultados precisos incluso para valores grandes de n.
Ejemplo resuelto
Imagina que lanzas una moneda equilibrada 10 veces (\(n = 10\), \(p = 0{,}5\)) y quieres conocer la probabilidad de obtener como máximo 3 caras (\(k = 3\)). Al sumar los términos correspondientes a 0, 1, 2 y 3 éxitos obtenemos
$$1 + 10 + 45 + 120 = 176$$resultados favorables de un total de \(2^{10} = 1024\), de modo que
$$P(X \le 3) = \frac{176}{1024} \approx 0{,}171875,$$es decir, alrededor del 17,19 %.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre «como máximo k» y «exactamente k»? «Exactamente k» es un único término \(\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}\), mientras que «como máximo k» suma todos los términos desde 0 hasta k.
¿Cómo calculo «al menos k»? Utiliza \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\). La fila del complemento que aparece aquí te da \(P(X > k) = 1 - P(X \le k)\).
¿Puede p valer 0 o 1? Sí. Si \(p = 0\), todos los ensayos fracasan, así que \(P(X \le k) = 1\) para cualquier \(k \ge 0\); si \(p = 1\), todos los ensayos tienen éxito, lo que da 1 solo cuando \(k \ge n\).
