「k回以下成功する確率」とは？
この計算ツールは、累積二項確率 \(P(X \le k)\) を求めます。これは、各試行が確率pで成功するとき、n回の独立な試行のうち多くてもk回成功する確率です。0回成功からk回成功までの個々の二項確率をすべて足し合わせたもので、二項分布の下側確率（累積分布関数、CDF）にあたります。
使い方
試行回数 n、しきい値 k（許容する成功回数の上限）、そして1回あたりの成功確率 p を0～1の小数で入力してください。ツールは \(P(X \le k)\) とそのパーセント表示、余事象 \(P(X > k)\)、そして成功回数の期待値 \(np\) を返します。
計算式の解説
ちょうどi回成功する確率は、二項分布の項 \(\binom{n}{i} \cdot p^{i} \cdot (1-p)^{n-i}\) で表されます。ここで \(\binom{n}{i}\) は、どのi回の試行が成功するかを選ぶ組み合わせの数です。「k回以下」を求めるには、i = 0, 1, …, k についてこれらの項を足し合わせます。 $$P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i}\, p^{\,i}\, (1-p)^{\,n-i}$$ 本ツールは隣り合う項どうしの数値的に安定した漸化式を用いるため、nが大きい場合でも正確な結果が得られます。
計算例
公平なコインを10回投げ（n = 10、p = 0.5）、表が多くても3回（k = 3）出る確率を求めるとします。0回・1回・2回・3回成功の項を足すと、有利な場合の数は \(1 + 10 + 45 + 120 = 176\) 通りで、全体は \(2^{10} = 1024\) 通りです。したがって \(P(X \le 3) = 176 / 1024 \approx 0.171875\)、すなわち約17.19％となります。
よくある質問（FAQ）
「k回以下」と「ちょうどk回」はどう違いますか？ 「ちょうどk回」は単一の項 \(\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}\) ですが、「k回以下」は0回からk回までのすべての項を足し合わせたものです。
「k回以上」を求めるには？ \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\) を使います。本ツールの余事象の行には \(P(X > k) = 1 - P(X \le k)\) が表示されます。
pは0や1にできますか？ はい。p = 0 ならすべての試行が失敗するため、k ≥ 0 のどの場合でも \(P(X \le k) = 1\) になります。p = 1 ならすべての試行が成功するため、k ≥ n のときのみ1になります。
