二項分布の確率計算ツールとは？
このツールは、各試行で成功確率が同じ p である n 回の独立した試行において、成功がちょうど k 回起こる確率を求めます。コインを決まった回数だけ投げる、ある製造ロットに含まれる不良品の数を数える、選手のフリースローの成功回数を測る——こうした場面はいずれも二項分布に従います。
使い方
試行回数（n）、注目している成功回数（k）、そして1回あたりの成功確率（p、0〜1の範囲）を入力してください。すると、ちょうど k 回成功する確率 \(P(X = k)\) に加え、2つの累積確率 \(P(X \le k)\) と \(P(X \ge k)\)、さらに分布の平均と標準偏差が表示されます。
公式の解説
二項分布の確率を求める公式は次のとおりです。
$$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^{\,k} \, (1 - p)^{\,n - k}$$ここで \(C(n,k)\) は二項係数（n 回の試行のうち k 回を成功とする組み合わせの数）、\(p^{k}\) はその k 回が成功する確率、\((1 - p)^{n - k}\) は残り n − k 回が失敗する確率を表します。分布の平均は \(n \cdot p\)、標準偏差は \(\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\) です。
計算例
たとえば、公平なコインを10回投げる場合（n = 10、p = 0.5）に、表がちょうど3回出る確率（k = 3）を考えてみましょう。\(C(10,3) = 120\) なので、$$P = 120 \cdot 0.5^{3} \cdot 0.5^{7} = 120 \cdot 0.0009765625 = \mathbf{0.1171875}$$、つまり約11.7%となります。
さらに詳しい計算例
各例では二項確率公式 \(P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}\) を使用します。ここで \(n\) は独立した試行回数、\(p\) は各試行における成功確率、\(k\) は対象とする成功回数です。
例1 — 不良品、P(X ≤ 2)
ある出荷品の不良率は \(p = 0.05\) です。\(n = 20\) 個の品物をランダムサンプリングするとき、最大2個が不良である確率は何ですか？\(P(X \le 2) = P(0) + P(1) + P(2)\) を求めます。
- \(P(0) = \binom{20}{0}(0.05)^0(0.95)^{20} = 1 \cdot 1 \cdot 0.358486 = 0.358486\)
- \(P(1) = \binom{20}{1}(0.05)^1(0.95)^{19} = 20 \cdot 0.05 \cdot 0.377354 = 0.377354\)
- \(P(2) = \binom{20}{2}(0.05)^2(0.95)^{18} = 190 \cdot 0.0025 \cdot 0.397214 = 0.188677\)
\(\binom{20}{2} = 190\) であることに注意してください。3つの項を足すと：
$$P(X \le 2) = 0.358486 + 0.377354 + 0.188677 = 0.924516$$したがって、正確に2個の不良品が出る確率は約0.188677 であり、2個以下である確率はおよそ92.5%です。分布の平均は \(\mu = np = 20 \cdot 0.05 = 1\) 個の不良品であり、標準偏差は \(\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{20 \cdot 0.05 \cdot 0.95} = \sqrt{0.95} \approx 0.9747\) です。
例2 — フリースロー、P(X ≥ 4)
あるプレイヤーはフリースローを成功確率 \(p = 0.8\) で決め、\(n = 5\) 回シュートします。4回以上成功する確率は何ですか？\(P(X \ge 4) = P(4) + P(5)\) を求めます。
- \(P(4) = \binom{5}{4}(0.8)^4(0.2)^1 = 5 \cdot 0.4096 \cdot 0.2 = 0.4096\)
- \(P(5) = \binom{5}{5}(0.8)^5(0.2)^0 = 1 \cdot 0.32768 \cdot 1 = 0.32768\)
ここで \(\binom{5}{4} = 5\) および \(\binom{5}{5} = 1\) です。合計すると：
$$P(X \ge 4) = 0.4096 + 0.32768 = 0.73728$$プレイヤーは5回中4回以上成功する確率は約73.7%です。成功したシュートの期待値は \(\mu = np = 5 \cdot 0.8 = 4\) で、標準偏差は \(\sigma = \sqrt{5 \cdot 0.8 \cdot 0.2} = \sqrt{0.8} \approx 0.8944\) です。最も起こりやすい単一の結果は \(P(X = 4) = \)0.4096 です。
例3 — アンケート回答、厳密な値
30%の人々 \((p = 0.3)\) があるブランドを認識しており、\(n = 10\) 人に調査するとします。正確に3人がそれを認識する確率は：
$$P(X = 3) = \binom{10}{3}(0.3)^3(0.7)^7 = 120 \cdot 0.027 \cdot 0.0823543 = 0.266828$$\(\binom{10}{3} = 120\) で、結果は \(P(X=3) \approx\) 0.266828 です。平均は \(\mu = np = 3\) 人の認識で、最も起こりやすい回数と一致し、\(\sigma = \sqrt{10 \cdot 0.3 \cdot 0.7} \approx 1.449\) です。
重要な用語と変数
| 記号／用語 | 意味 |
|---|---|
| \(n\) — 試行回数 | 実験の独立した繰り返しの固定された総回数（例：検査された品物の数、投げられたシュートの数）。非負整数である必要があります。 |
| \(k\) — 成功回数 | 確率を求めたい成功結果の具体的な数で、\(0 \le k \le n\) です。 |
| \(p\) — 成功確率 | 任意の単一試行における成功の確率で、すべての試行で同じです。0と1の間の値です。 |
| \(q = 1 - p\) — 失敗確率 | 単一試行における失敗の確率。各試行は成功か失敗のいずれかであるため、\(p + q = 1\) です。 |
| \(\binom{n}{k}\) — 二項係数 | \(n\) 回の試行中から \(k\) 回の成功を選ぶ方法の数。「n個の中からk個を選ぶ」と読みます：\(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)。 |
| \(P(X = k)\) — 厳密確率 | 正確に \(k\) 回成功する確率：\(\binom{n}{k} p^{k} q^{\,n-k}\)。 |
| \(P(X \le k)\) — 累積確率（最大） | \(k\) 回以下の成功確率。\(P(0) + P(1) + \dots + P(k)\) の合計です。 |
| \(P(X \ge k)\) — 累積確率（最小） | \(k\) 回以上の成功確率。\(1 - P(X \le k-1)\) に等しいです。 |
| \(\mu = np\) — 平均 | \(n\) 回試行の実験を何度も繰り返したときの、成功回数の期待値（平均値）。 |
| \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\) — 標準偏差 | 成功回数が平均の周りでどの程度変動するかを示す尺度。 |
結果の解釈
二項計算機は3つの関連しているが異なる質問に答えることができ、出力をあなたが実際に尋ねた質問と照合することが重要です。
- 厳密確率、\(P(X = k)\)： 正確に \(k\) 回成功する確率 — これ以上もこれ以下もなく。「不良品がちょうど3個である確率は？」のような質問に使用してください。単一の結果に限定されるため、この値は通常、以下の累積確率よりも小さいです。
- 最大、\(P(X \le k)\)： \(k\) 回以下の成功確率。0、1、...、\(k\) の確率を足します。「以下ではない」、「最大」、または「より小さいまたは等しい」というフレーズに使用してください。
- 最小、\(P(X \ge k)\)： \(k\) 回以上の成功確率。便利な近道は \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\) です。「最小」、「これ以下ではない」、または「最小値」というフレーズに使用してください。
境界線に注意してください：「\(k\) より多い」は \(P(X \ge k+1)\) を意味し、「\(k\) より少ない」は \(P(X \le k-1)\) を意味します。1つの単語が、合計される項を変えます。
平均 \(\mu = np\) は成功の期待値です — \(n\) 回試行の実験全体を何度も繰り返した場合の長期的な平均回数。\(n = 20\) 個の品物で \(p = 0.05\) の場合、平均して \(\mu = 1\) 個の不良品を期待しますが、単一のサンプルは0、1、2個以上を持つかもしれません。平均はまた、最も起こりやすい単一の結果に近いため、\(k\) を \(np\) と比較すると、典型的な結果か異常な結果かが分かります。
標準偏差 \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\) は平均の周りの結果の広がりを説明します。ほとんどの結果は \(np\) からおよそ1～2標準偏差以内に収まります。\(k\) が平均から数標準偏差離れているとき、対応する確率は小さく、これはまさに「末端」のイベントが驚くべき理由です。\(n\) が大きく \(p\) が0または1に近くないとき、二項分布はこの同じ平均と標準偏差を持つ正規分布に近似し、累積確率の正規曲線近似を可能にします。
これは出力を読むのに役立つ一般的な統計情報です。常に、結果に頼る前に、シナリオが二項の仮定（固定数の独立した試行、試行あたり2つの結果、一定の成功確率）を満たしていることを確認してください。
よくある質問
どんなときに二項分布を使えますか？ 試行回数が決まっていて、各試行が独立しており、結果が2通り（成功か失敗か）で、成功確率が一定の場合に使えます。
\(P(X \ge k)\) とは何を意味しますか？ 成功が少なくとも k 回起こる確率を表します。「k 回以上」を問う場面で役立ちます。
p は1より大きくできますか？ いいえ。確率は0〜1の範囲でなければなりません。この範囲を外れた値は自動的に丸められます。
