Что такое калькулятор члена биномиального разложения?
Этот калькулятор находит один конкретный член разложения \((a + b)^n\), не раскрывая всё выражение целиком. Нужен ли вам 5-й член, свободный член или коэффициент при определённой степени — формула общего члена даёт ответ напрямую. Это универсальный математический инструмент: он работает одинаково в любой стране и не зависит от каких-либо национальных правил.
Как пользоваться калькулятором
Введите первое слагаемое a, второе слагаемое b, показатель степени n и номер члена k (1 — первый член, 2 — второй и так далее). Калькулятор выдаст биномиальный коэффициент \(C(n, r)\), значение члена и соответствующие показатели степеней. Обратите внимание: для k-го члена используется \(r = k - 1\).
Разбор формулы
Общий член разложения \((a + b)^n\) записывается так:
$$T_{r+1} = \binom{n}{r}\, a^{\,n-r}\, b^{\,r}$$
Здесь \(C(n, r) = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\) — биномиальный коэффициент. k-й член соответствует значению \(r = k - 1\), поэтому у первого члена \(r = 0\), а у последнего \(r = n\). Сумма показателей степеней всегда равна \(n\): \((n - r) + r = n\).
Разобранный пример
Найдём 3-й член разложения \((2 + 3)^4\). Здесь \(a = 2\), \(b = 3\), \(n = 4\), \(k = 3\), значит \(r = 2\). Коэффициент равен \(\binom{4}{2} = 6\). Сам член: $$6 \cdot 2^{\,4-2} \cdot 3^2 = 6 \cdot 4 \cdot 9 = 216.$$
Частые вопросы
Что означает k? k — это номер члена, отсчитываемый от 1. Для k-го члена в формуле используется \(r = k - 1\).
Как найти свободный член? Для выражений вида \((x + 1/x)^n\) приравняйте суммарную степень \(x\) к нулю и найдите \(r\), а затем подставьте это значение (\(k = r + 1\)) в калькулятор.
Могут ли a и b быть отрицательными или дробными? Да — калькулятор вычисляет \(a^{\,n-r} \cdot b^{\,r}\) численно, поэтому отрицательные и десятичные значения работают корректно.
Треугольник Паскаля / Таблица биномиальных коэффициентов
Записи ниже представляют биномиальные коэффициенты \(\binom{n}{r}\). Чтобы найти \(k\)-й член разложения, прочитайте вдоль строки \(n\) и возьмите значение в столбце \(r=k-1\) (столбцы нумеруются начиная с 0). Например, 4-й член разложения \((a+b)^6\) использует \(r=3\), давая \(\binom{6}{3}=20\).
| n | r=0 | r=1 | r=2 | r=3 | r=4 | r=5 | r=6 | r=7 | r=8 | r=9 | r=10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
Каждая запись равна сумме двух записей над ней, и каждая строка симметрична: \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\).
Определения и глоссарий
- \(a\) — первый член (основание)
- Ведущее выражение внутри бинома \((a+b)^n\). В каждом члене оно возводится в степень \(n-r\).
- \(b\) — второй член (основание)
- Завершающее выражение внутри бинома. В каждом члене оно возводится в степень \(r\). Оно может быть отрицательным или обратным (например, \(1/x\)); его знак и форма переносятся в значение члена.
- \(n\) — показатель (степень)
- Степень, в которую возводится бином. Полное разложение содержит \(n+1\) членов, и показатели степеней на \(a\) и \(b\) в каждом члене всегда в сумме дают \(n\).
- \(k\) — номер члена
- Позиция искомого члена, отсчитываемая с 1 (первый член, \(a^n\), это \(k=1\)). Допустимые значения варьируются от \(1\) до \(n+1\).
- \(r\) — индекс коэффициента
- Нулевой индекс, используемый в биномиальном коэффициенте и степенях, определяемый как \(r=k-1\). Это также степень на \(b\).
- \(T_{r+1}\) — общий член
- Формула для \((r+1)\)-го члена разложения: \(T_{r+1}=\binom{n}{r}\,a^{\,n-r}\,b^{\,r}\). Установив \(r=k-1\), получаем \(k\)-й член.
- \(\binom{n}{r}\) — биномиальный коэффициент
- Читается «\(n\) по \(r\)», он подсчитывает количество способов выбрать \(r\) элементов из \(n\) и вычисляется как \(\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\). Это числовой коэффициент (перед любым знаком от \(a\) или \(b\)) члена.
