Calculadora del test binomial exacto (valor p)

Probabilidad del recuento observado	0,043945
Expected successes (n × p)	5
One-sided lower P(X ≤ k)	0,989258
One-sided upper P(X ≥ k)	0,054688

¿Qué es el test binomial exacto?

El test binomial exacto sirve para comprobar si el número de éxitos observado en un número fijo de ensayos independientes de tipo sí/no encaja con una probabilidad de éxito hipotética. A diferencia de la aproximación normal, calcula el valor p directamente a partir de la distribución binomial, por lo que resulta preciso incluso con muestras pequeñas. Es una herramienta universal: vale para cualquier experimento binario, ya sean lanzamientos de moneda, tasas de conversión, recuentos de defectos o datos de aprobado/suspenso.

Cómo usar esta calculadora

Introduce el número de éxitos k, el número total de ensayos n y la probabilidad de éxito hipotética p (entre 0 y 1). La calculadora te devuelve el valor p bilateral, la probabilidad del recuento observado, el número esperado de éxitos y los dos valores p unilaterales.

La fórmula al detalle

Cada resultado x tiene una probabilidad

$$P(X = x) = \binom{\text{n}}{x}\, \text{p}^{\,x}\,\bigl(1-\text{p}\bigr)^{\text{n}-x}$$

El valor p bilateral suma las probabilidades de todos los resultados que son igual de improbables, o menos, que el observado realmente $P(x) \le P(k)$:

$$p\text{-value} = \sum_{x\,:\,P(X=x)\,\le\,P\left(X=\text{k}\right)} P(X = x)$$

El valor p unilateral inferior es

$$P\!\left(X \le \text{k}\right) = \sum_{x=0}^{\text{k}} \binom{\text{n}}{x}\, \text{p}^{\,x}\,\bigl(1-\text{p}\bigr)^{\text{n}-x}$$

y el superior es

$$P\!\left(X \ge \text{k}\right) = \sum_{x=\text{k}}^{\text{n}} \binom{\text{n}}{x}\, \text{p}^{\,x}\,\bigl(1-\text{p}\bigr)^{\text{n}-x}$$

Gráfico de barras de una distribución binomial con las barras de las colas sombreadas para mostrar la región del valor p bilateral — El valor p bilateral suma las probabilidades de todos los resultados al menos tan improbables como el conteo observado k.

Ejemplo resuelto

Imagina que lanzas una moneda 10 veces y obtienes 8 caras, y quieres comprobar si la moneda está equilibrada ($p = 0{,}5$). La probabilidad de sacar exactamente 8 caras es

$$\binom{10}{8}\cdot 0{,}5^{10} = \frac{45}{1024} \approx 0{,}043945$$

Por simetría, los resultados igual o menos probables son 0, 1, 2, 8, 9 y 10 caras. Su probabilidad total es

$$2\cdot\frac{1+10+45}{1024} = \frac{112}{1024} \approx 0{,}109375$$

que es el valor p bilateral. Como supera el 0,05, no rechazarías la hipótesis de que la moneda está equilibrada.

Fila de círculos rellenos y vacíos que representan k éxitos de n ensayos — Una prueba binomial compara los éxitos observados k en n ensayos con una probabilidad hipotética.

Interpretación de su resultado

La prueba binomial exacta compara un número observado de éxitos $k$ en $n$ ensayos independientes contra una probabilidad de éxito hipotética $p$. El valor p responde una única pregunta: si la hipótesis nula fuera cierta, ¿qué tan probable es obtener un resultado al menos tan extremo como el que observó?

Bilateral vs unilateral

Un valor p bilateral prueba si la verdadera probabilidad difiere de $p$ en cualquier dirección. Suma las probabilidades de todos los resultados cuya probabilidad es menor o igual a la del $k$ observado (el método utilizado por esta calculadora y por binom.test de R). Úselo cuando no tenga ninguna razón previa para esperar un resultado alto o bajo.

Un valor p unilateral prueba una afirmación direccional — por ejemplo "la verdadera probabilidad es mayor que $p$." Suma probabilidades solo en la cola que especificó. Un valor p unilateral es aproximadamente la mitad del valor bilateral, así que elija la dirección antes de ver los datos, nunca después.

El nivel de significancia (alfa)

El umbral $\alpha$ es la tasa de falsos positivos que está dispuesto a tolerar. Las opciones comunes son $\alpha = 0.05$ y la más estricta $\alpha = 0.01$. Compara el valor p con $\alpha$:

Si valor p $\le \alpha$: rechace la hipótesis nula — los datos son lo suficientemente inconsistentes con $p$ para ser llamados estadísticamente significativos.
Si valor p $> \alpha$: no rechace la hipótesis nula — los datos son compatibles con $p$.

Lo que "no rechazar" significa y no significa

"No rechazar" significa únicamente que carece de evidencia suficiente en contra de la hipótesis nula. No prueba que la hipótesis nula sea cierta. Una muestra pequeña puede producir fácilmente un resultado no significativo incluso cuando la verdadera probabilidad difiere de $p$; la ausencia de evidencia no es evidencia de ausencia. Para evaluar lo que los datos sí respaldan, combine la prueba con una estimación del efecto y un intervalo de confianza para la proporción.

Definiciones y Glosario

Éxitos (k): El conteo observado de ensayos con el resultado de interés. Un entero con $0 \le k \le n$.
Ensayos (n): El número total de ensayos de Bernoulli independientes, cada uno con la misma probabilidad de éxito.
Probabilidad hipotética (p): La probabilidad de éxito asumida bajo la hipótesis nula, $0 \le p \le 1$. La equidad de una moneda, por ejemplo, corresponde a $p = 0.5$.
Hipótesis nula (H₀): La afirmación predeterminada que se prueba: la verdadera probabilidad de éxito es igual a $p$, es decir $H_0:\, \pi = p$.
Hipótesis alternativa (H₁): La afirmación aceptada si se rechaza H₀: $\pi \ne p$ (bilateral), o $\pi > p$ / $\pi < p$ (unilateral).
Valor p: La probabilidad, calculada bajo H₀, de obtener un resultado al menos tan extremo como el $k$ observado. Valores más pequeños dan evidencia más fuerte en contra de H₀.
Prueba bilateral: Detecta una diferencia de $p$ en cualquier dirección sumando todos los resultados no más probables que el observado.
Prueba unilateral: Detecta una diferencia en una única dirección preestablecida.
Conteo esperado (np): El número de éxitos esperado bajo H₀, $np$. Comparar $k$ con $np$ muestra la dirección y el tamaño aproximado de la desviación.
Nivel de significancia (alfa): El punto de corte preestablecido $\alpha$ (comúnmente 0.05 o 0.01) contra el cual se juzga el valor p; es la probabilidad máxima aceptable de un error de Tipo I.

Preguntas frecuentes

¿Cuándo conviene usar el test exacto en lugar de un test z? Recurre al test binomial exacto siempre que n sea pequeño o los recuentos esperados sean bajos, situaciones en las que la aproximación normal no es fiable.

¿Qué significa un valor p pequeño? Un valor p pequeño (por ejemplo, inferior a 0,05) indica que el recuento observado es poco probable bajo la probabilidad hipotética, lo que aporta evidencia en su contra.

¿Por qué el valor p bilateral puede no coincidir con el doble del unilateral? El test bilateral exacto suma las probabilidades de todos los resultados al menos tan extremos en términos de probabilidad, y eso no siempre equivale al doble de la cola más pequeña cuando la distribución es asimétrica.