¿Qué es la factorización por agrupación?
La factorización por agrupación es una técnica del álgebra que se utiliza para factorizar expresiones de cuatro términos. Cuando una expresión tiene la forma \(\text{a}\text{x} + \text{a}\text{y} + \text{b}\text{x} + \text{b}\text{y}\), puedes agrupar los términos por parejas, extraer el máximo común divisor de cada pareja y reescribir toda la expresión como el producto de dos binomios: \(\left(\text{a} + \text{b}\right)\left(\text{x} + \text{y}\right)\). Esta calculadora evalúa numéricamente esa identidad para que puedas comprobar tus propios desarrollos algebraicos.
Cómo usar esta calculadora
Introduce los valores numéricos de los cuatro coeficientes: a y b (los factores que acompañan a los grupos de variables) y x e y. La herramienta calcula la suma desarrollada \(\text{a}\text{x} + \text{a}\text{y} + \text{b}\text{x} + \text{b}\text{y}\), los factores agrupados \(\left(\text{a} + \text{b}\right)\) y \(\left(\text{x} + \text{y}\right)\), y su producto. Como la identidad siempre se cumple, el valor desarrollado y el producto factorizado coincidirán, lo que confirma que la factorización es correcta.
La fórmula explicada
Partimos de \(\text{a}\text{x} + \text{a}\text{y} + \text{b}\text{x} + \text{b}\text{y}\). Agrupamos los dos primeros términos y los dos últimos: \(\left(\text{a}\text{x} + \text{a}\text{y}\right) + \left(\text{b}\text{x} + \text{b}\text{y}\right)\). Factorizamos cada grupo: \(\text{a}\left(\text{x} + \text{y}\right) + \text{b}\left(\text{x} + \text{y}\right)\). Ahora ambos grupos comparten el binomio común \(\left(\text{x} + \text{y}\right)\), así que lo sacamos como factor común y obtenemos la identidad
$$\text{a}\text{x} + \text{a}\text{y} + \text{b}\text{x} + \text{b}\text{y} = \left(\text{a} + \text{b}\right)\left(\text{x} + \text{y}\right)$$
Ejemplo resuelto
Supongamos que \(\text{a} = 2\), \(\text{b} = 3\), \(\text{x} = 5\), \(\text{y} = 7\). El valor desarrollado es
$$2\cdot 5 + 2\cdot 7 + 3\cdot 5 + 3\cdot 7 = 10 + 14 + 15 + 21 = 60$$
La forma factorizada es
$$\left(2 + 3\right)\left(5 + 7\right) = \left(5\right)\left(12\right) = 60$$
Ambos lados son iguales a 60, lo que confirma la identidad.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo puedo factorizar por agrupación? Cuando una expresión tiene cuatro términos y estos se pueden agrupar de modo que cada pareja comparta un factor común, dejando un binomio compartido.
¿Importa el orden de la agrupación? No: puedes agrupar \(\left(\text{a}\text{x} + \text{b}\text{x}\right) + \left(\text{a}\text{y} + \text{b}\text{y}\right)\) y aun así llegar a \(\left(\text{a} + \text{b}\right)\left(\text{x} + \text{y}\right)\).
¿Por qué los valores no siempre parecen una factorización «limpia»? Esta herramienta trabaja con los valores numéricos que introduces. Para la factorización simbólica se conservan las variables; aquí comprobamos la igualdad de forma numérica.
